2015-重庆卷理-14 填-切割线定理

本题导读

本题考查圆内比例线段的综合应用。解题关键是分两步走：先利用切割线定理解决圆外点引出的线段比例，求出弦 $CD$ 的总长度；再利用相交弦定理解决圆内两弦相交产生的线段比例，最终求得目标线段 $BE$。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） （选做题-几何证明选讲） 如图，圆 $O$ 的弦 $AB,CD$ 相交于点 $E$，过点 $A$ 作圆 $O$ 的切线与 $DC$ 的延长线交于点 $P$.若 $PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED=2:1$，则 $BE=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用切割线定理：观察圆外点 $P$，有切线 $PA$ 和割线 $PCD$。利用 $P{A}^2=PC\cdot PD$ 可以求出全长 $PD$。
2. 计算弦长及分段：通过 $PD-PC$ 得到弦 $CD$ 的长，结合已知比例 $CE:ED=2:1$ 分别计算出 $CE$ 和 $ED$。
3. 运用相交弦定理：圆内两弦 $AB$ 和 $CD$ 相交于 $E$，利用 $AE\cdot EB=CE\cdot ED$ 建立关于 $BE$ 的方程求解。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：应用切割线定理求 $PD$ 根据切割线定理有：$P{A}^2=PC\cdot PD$。 将 $PA=6,PC=3$ 代入得： $6^2=3\cdot PD$ $36=3\cdot PD⟹PD=12$。

第二步：求线段 $CE$ 与 $ED$ 的长度 弦 $CD$ 的长度为：$CD=PD-PC=12-3=9$。 已知 $CE:ED=2:1$， 则 $CE=\frac{2}{2+1}\cdot CD=\frac{2}{3}\times 9=6$； $ED=\frac{1}{2+1}\cdot CD=\frac{1}{3}\times 9=3$。

第三步：应用相交弦定理求 $BE$ 根据相交弦定理有：$AE\cdot EB=CE\cdot ED$。 将 $AE=9,CE=6,ED=3$ 代入得： $9\cdot BE=6\cdot 3$ $9\cdot BE=18$ 解得 $BE=2$。

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心定理组合：切割线定理（圆外关系）与相交弦定理（圆内关系）是解决圆中比例线段最常用的“组合拳”。
2. 易错点：注意 $PD$ 是割线全长，不是 $CD$ 段。在应用切割线定理时，必须从圆外点出发，乘积的两部分分别是“点到圆近端”和“点到圆远端”。
3. 比例分配：在已知总长和比例时，按比例分配计算各分段长度是解析几何中的基本功。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以通过连接 $AC,AD$ 利用相似三角形 $△PAC\sim △PDA$ 推导切割线定理，或连接 $AC,BD$ 利用圆周角性质证明相似三角形来推导相交弦定理。
• 变式思考: 若题目未给出 $CE:ED$ 的具体比例，而是给出 $△ACE$ 与 $△BDE$ 的面积比，能否求出 $BE$？ (提示：相似三角形面积比等于相似比的平方，即 $\frac{S_1}{S_2}=(\frac{AE}{ED}{)}^2=(\frac{CE}{BE}{)}^2$。)

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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