2015-陕西卷文-21 解-零点数列

本题导读

$f_n^{\prime }(2)=(n-1)2^n+1$；$f_n(0)<0<f_n\left(\frac{2}{3}\right)$ 且严格增，零点 $a_n$ 唯一；$f_n\left(\frac{1}{2}\right)<0$ 给 $a_n>\frac{1}{2}$，令 $x_0=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 用 $2x_0-1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}>x_0^{n+1}$ 得 $f_n(x_0)>0$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 设 $f_n(x)=x+x^2+\cdots +x^n-1$，$x\ge 0$，$n\in \mathbf{N}$，$n\ge 2$.

(1) 求 $f_n^{\prime }(2)$；

(2) 证明：$f_n(x)$ 在 $\left(0,\frac{2}{3}\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_n$），且 $0<a_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$.

🔍【思路分析】

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$f_n^{\prime }(2)=(n-1)2^n+1$；$f_n(0)<0<f_n\left(\frac{2}{3}\right)$ 且严格增，零点 $a_n$ 唯一；$f_n\left(\frac{1}{2}\right)<0$ 给 $a_n>\frac{1}{2}$，令 $x_0=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 用 $2x_0-1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}>x_0^{n+1}$ 得 $f_n(x_0)>0$。

✅【答案】

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(1) $f_n^{\prime }(2)=(n-1)2^n+1$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f_n^{\prime }(x)=1+2x+3x^2+\cdots +n{x}^{n-1}$。

利用 $x+x^2+\cdots +x^n=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$（$x\ne 1$），对右端求导：

${\left(\frac{x^{n+1}-x}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{\left[(n+1)x^n-1\right](x-1)-\left(x^{n+1}-x\right)}{(x-1{)}^2}$。

代入 $x=2$：$\left[(n+1)2^n-1\right]\cdot 1-\left(2^{n+1}-2\right)=(n+1)2^n-1-2^{n+1}+2=(n-1)2^n+1$。

(2) 当 $x\ge 0$ 时，$f_n^{\prime }(x)=1+2x+\cdots +n{x}^{n-1}\ge 1>0$，故 $f_n(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上严格递增。

$f_n(0)=-1<0$；$f_n\left(\frac{2}{3}\right)=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{2}{3}\right)}^j-1=1-2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1=1-2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n>0$（因 $n\ge 2$ 时 $2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\le \frac{8}{9}<1$）。

由零点存在性定理，$f_n(x)$ 在 $\left(0,\frac{2}{3}\right)$ 内至少有一个零点；由严格递增性知零点唯一，记为 $a_n$。

又 $f_n\left(\frac{1}{2}\right)=\sum _{j=1}^n{\left(\frac{1}{2}\right)}^j-1=1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1=-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n<0$，故 $a_n>\frac{1}{2}$。

令 $x_0=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$。由 $n\ge 2$ 知 $\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\le \frac{4}{27}<\frac{1}{6}$，故 $x_0<\frac{2}{3}$。

当 $x\ne 1$ 时，$f_n(x)=\frac{x^{n+1}-x}{x-1}-1=\frac{2x-1-x^{n+1}}{1-x}$。

由于 $2x_0-1=\frac{2}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}$，而 $x_0<\frac{2}{3}$，故 $x_0^{n+1}<{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}=2x_0-1$，

于是 $2x_0-1-x_0^{n+1}>0$，且 $1-x_0>0$，故 $f_n(x_0)>0$。由严格递增性得 $a_n<x_0$，即

$0<a_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：多项式求导（错位求和的结构式）；零点存在性定理；零点的双侧估计

核心方法：“几何级数闭式求导”定 $f_n^{\prime }(2)$；”$f(0)<0<f(2/3)$ + 严格增”定唯一零点；构造 $x_0$ 夹逼

避坑指南：①求 $f_n^{\prime }(2)$ 不逐项相加，用闭式 $\frac{x^{n+1}-x}{x-1}$ 求导后在 $x=2$ 处代入（分母恰为 1）；②上界估计的核心是 $f_n(x)=\frac{2x-1-x^{n+1}}{1-x}$ 的变形与 $2x_0-1={\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+1}$ 的”凑幂”，两步缺一不可；③$n\ge 2$ 用于保证 $2{\left(\frac{2}{3}\right)}^n<1$ 与 $x_0<\frac{2}{3}$，论证中要点明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“函数零点的存在唯一性 + 零点位置的数列式估计”是函数与数列交汇的压轴形态（doc 考点定位：错位相减法、零点存在性定理、函数与数列），夹逼不等式 $0<a_n-\frac{1}{2}<\frac{1}{3}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ 是本卷压轴的封口。

结论推广：一般地，对严格增函数 $f$：$f(u)<0<f(v)$ 给唯一零点 $\in (u,v)$；估计零点位置时构造上界 $x_0$ 使 $f(x_0)>0$，本题的构造来源正是 $f_n(x)$ 的闭式分子 $2x-1-x^{n+1}$。

方法推广：零点大题通用框架：单调性 → 端点异号 → 唯一性；精细估计时”把 $f$ 的闭式写出来、让上界点的函数值能按幂比较”，代数变形服务于不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.16 零点问题
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-21 解-等比数列
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2013年陕西卷理-21