2015-陕西卷理-21 解-等比数列

本题导读

本题是数列与函数的综合压轴题。第一问要求利用零点存在性定理和单调性证明零点的唯一性，并推导特定的解析式；第二问要求比较同项数的等差数列与等比数列和的大小，通过构造差值函数并利用导数工具进行严谨证明。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设 $f_n(x)$ 是等比数列 $1,x,x^2,\dots ,x^n$ 的各项和，其中 $x>0$，$n\in \mathbb{N}$，$n\ge 2$.

（I）证明：函数 $F_n(x)=f_n(x)-2$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 内有且仅有一个零点（记为 $x_n$），且 $x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}_n^{n+1}$；

（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 $g_n(x)$，比较 $f_n(x)$ 与 $g_n(x)$ 的大小，并加以证明.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （I）问思路：
   • 求和公式：利用等比数列求和公式 $f_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ ($x\ne 1$)。
   • 零点存在性：计算 $F_n(\frac{1}{2})$ 和 $F_n(1)$ 的符号，利用零点存在性定理判断。
   • 唯一性证明：求导 $F_n^{\prime }(x)$，说明函数在区间内的单调性。
   • 推导关系式：利用 $F_n(x_n)=0$ 变形得出结论。
2. （II）问思路：
   • 确定 $g_n(x)$：该等差数列首项为 $1$，末项为 $x^n$，项数为 $n+1$。根据求和公式 $g_n(x)=\frac{(n+1)(1+x^n)}{2}$。
   • 构造差函数：设 $h(x)=f_n(x)-g_n(x)$。
   • 分类讨论与导数应用：
     • 当 $x=1$ 时，易证 $h(1)=0$。
     • 当 $x\ne 1$ 时，通过对 $h(x)$ 求导，利用二阶导数或不等式放缩证明 $h(x)<0$ 恒成立。

✅【答案】

点击查看答案

结论：当 $x=1$ 时，$f_n(x)=g_n(x)$；当 $x\ne 1$ 时，$f_n(x)<g_n(x)$

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明零点的存在性与唯一性

由题意，$f_n(x)=1+x+x^2+\cdots +x^n$。 当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时，$f_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$。 则 $F_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-2$。

1. 存在性： $F_n(\frac{1}{2})=\frac{1-(\frac{1}{2}{)}^{n+1}}{1-\frac{1}{2}}-2=2[1-(\frac{1}{2}{)}^{n+1}]-2=-(\frac{1}{2}{)}^n<0$。 $F_n(1)=(n+1)-2=n-1>0$（由于 $n\ge 2$）。 根据零点存在性定理，$F_n(x)$ 在 $(\frac{1}{2},1)$ 内至少有一个零点。
2. 唯一性： $F_n^{\prime }(x)=f_n^{\prime }(x)=1+2x+\cdots +n{x}^{n-1}$。 因为 $x>0$，所以 $F_n^{\prime }(x)>0$ 恒成立，$F_n(x)$ 在区间内单调递增。 故零点 $x_n$ 唯一。
3. 证明关系式： 由 $F_n(x_n)=0$ 得 $\frac{1-x_n^{n+1}}{1-x_n}=2$。 $1-x_n^{n+1}=2-2x_n⟹2x_n=1+x_n^{n+1}$。 所以 $x_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}_n^{n+1}$。

（II）比较 $f_n(x)$ 与 $g_n(x)$ 的大小

该等差数列的首项 $a_1=1$，末项 $a_{n+1}=x^n$，项数为 $n+1$。 其各项和 $g_n(x)=\frac{(n+1)(1+x^n)}{2}$。 设 $h(x)=f_n(x)-g_n(x)=(1+x+x^2+\cdots +x^n)-\frac{(n+1)(1+x^n)}{2}$。

1. 当 $x=1$ 时： $f_n(1)=n+1$，$g_n(1)=\frac{(n+1)(2)}{2}=n+1$。 故 $f_n(1)=g_n(1)$。
2. 当 $x\ne 1$ 时： 考虑 $x>0$ 且 $x\ne 1$。 方法：点差法思想/平均值不等式 观察项的配对： $h(x)={\sum }_{k=0}^n{x}^k-{\sum }_{k=0}^n\frac{1+x^n}{2}={\sum }_{k=0}^n(x^k-\frac{1+x^n}{2})$。 利用对称性，将第 $k$ 项与第 $n-k$ 项配对： $2h(x)={\sum }_{k=0}^n(x^k+x^{n-k}-1-x^n)={\sum }_{k=0}^n(x^k-1)(1-x^{n-k})$。 对于每一项 $(x^k-1)(1-x^{n-k})$：
   • 若 $x>1$，则 $x^k-1\ge 0$ 且 $1-x^{n-k}\le 0$，乘积 $\le 0$。
   • 若 $0<x<1$，则 $x^k-1\le 0$ 且 $1-x^{n-k}\ge 0$，乘积 $\le 0$。 由于 $n\ge 2$，中间必有 $k$ 使得 $(x^k-1)(1-x^{n-k})<0$。 因此 $2h(x)<0$，即 $f_n(x)<g_n(x)$。

结论：当 $x=1$ 时，$f_n(x)=g_n(x)$；当 $x\ne 1$ 时，$f_n(x)<g_n(x)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等比/等差数列求和公式；利用导数或对称性比较函数大小。
• 核心方法：配对求和法。在比较数列和的大小时，将对应的项进行配对（如首末配对）往往能直接观察出正负号，避免复杂的求导运算。
• 避坑指南：
  1. 第一问推导关系式时，不要漏掉 $x\ne 1$ 的前提。
  2. 第二问要注意区分项数 $n$ 与 $n+1$，本题数列是从 $x^0$ 到 $x^n$，共有 $n+1$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于正数序列，等差中项大于等于等比中项（$AM-GM$ 不等式的一种变形）。 *方法推广: 证明 $f(x)<g(x)$ 还可以使用数学归纳法。

• 相关知识点：幂函数的性质、凸函数的性质（Jensen 不等式在数列中的应用）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2013年陕西卷理-21
• 2012年陕西卷理-21