2015-陕西卷理-06 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定，核心在于利用二倍角公式探究两个三角命题之间的逻辑推导关系。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） “$\sin \alpha =\cos \alpha$” 是 “$\cos 2\alpha =0$” 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性判定：若命题 $p:\sin \alpha =\cos \alpha$ 成立，能否推导出命题 $q:\cos 2\alpha =0$？
2. 必要性判定：若命题 $q:\cos 2\alpha =0$ 成立，能否推导出命题 $p:\sin \alpha =\cos \alpha$？
3. 公式转化：利用二倍角公式 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 将命题 $q$ 进行因式分解，寻找两个命题间的代数关联。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析充分性 已知 $\sin \alpha =\cos \alpha$。 由二倍角公式得 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$。 将 $\sin \alpha =\cos \alpha$ 代入上式得： $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\cos }^2\alpha =0$ 所以 “$\sin \alpha =\cos \alpha$” $⟹$ “$\cos 2\alpha =0$”，充分性成立。

第二步：分析必要性 已知 $\cos 2\alpha =0$。 根据二倍角公式，有 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =0$。 因式分解得：$(\cos \alpha -\sin \alpha )(\cos \alpha +\sin \alpha )=0$。 这意味着 $\cos \alpha =\sin \alpha$ 或 $\cos \alpha =-\sin \alpha$。 由于结论不唯一（可能存在 $\sin \alpha =-\cos \alpha$ 的情况），所以不能唯一推导出 $\sin \alpha =\cos \alpha$。 例如：当 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$ 时，$\cos 2\alpha =\cos \frac{3\pi }{2}=0$，但此时 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$，两者并不相等。 所以 “$\cos 2\alpha =0$” $/⟹$ “$\sin \alpha =\cos \alpha$”，必要性不成立。

第三步：结论判定 综上所述，“$\sin \alpha =\cos \alpha$” 是 “$\cos 2\alpha =0$” 的充分不必要条件。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分、必要条件的逻辑定义；二倍角公式 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$。
• 核心方法：定义法。即判断 $p⟹q$ 与 $q⟹p$ 的真假。
• 避坑指南：
  1. 忽略 $\cos 2\alpha =0$ 解的全面性。
  2. 混淆充分与必要的逻辑指向：$p⟹q$ 则 $p$ 是充分的，$q$ 是必要的。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: “$\sin \alpha =\cos \alpha$” 的等价形式是 “$\tan \alpha =1$”；“$\cos 2\alpha =0$” 的等价形式是 “${\tan }^2\alpha =1$”。 *方法推广: 判定充要条件时，集合思想也非常有效：设 $P=\{\alpha |p\text{ 成立}\}$, $Q=\{\alpha |q\text{ 成立}\}$, 若 $P⊊Q$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

• 相关知识点：常用逻辑用语、同角三角函数的基本关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2006-陕西卷理-06 单-充分条件与必要条件的判定
• 2014-陕西卷理-13 填-向量平行的坐标表示
• 2014-陕西卷理-02 单-三角函数的周期性