2008-陕西卷文-06 单-充要条件与均值最值

本题导读

$a=\frac{1}{8}$ 时 $2x+\frac{1}{8x}⩾2\sqrt{\frac{2x}{8x}}=1$，充分；反之恒成立只需 $a⩾\frac{1}{8}$，不必恰取 $\frac{1}{8}$，不必要.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） “$a=\frac{1}{8}$”是“对任意的正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}⩾1$”的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

把”恒成立”翻译成参数范围：$2x+\frac{a}{x}$ 的最小值是 $2\sqrt{2a}$，最小值不小于 $1$ 即 $a⩾\frac{1}{8}$；再与条件 $a=\frac{1}{8}$ 比范围大小.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：当 $a=\frac{1}{8}$ 时，对任意正数 $x$，$2x+\frac{1}{8x}⩾2\sqrt{2x\cdot \frac{1}{8x}}=2\times \frac{1}{2}=1$，条件成立，充分性具备． 必要性：对任意正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}⩾1$ 恒成立，等价于其最小值 $2\sqrt{2a}⩾1$，解得 $a⩾\frac{1}{8}$，推不出 $a=\frac{1}{8}$，必要性不具备． 所以"$a=\frac{1}{8}$"是”对任意的正数 $x$，$2x+\frac{a}{x}⩾1$“的充分不必要条件．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分必要条件的判定与基本不等式

核心方法：充分性直接代入 $a=\frac{1}{8}$ 验证；必要性由恒成立分离出 $2\sqrt{2a}⩾1$，得 $a⩾\frac{1}{8}$

避坑指南："$a=\frac{1}{8}$"只是"$a⩾\frac{1}{8}$"中的一个值，单点推区间是充分不必要；基本不等式取等条件 $x=\frac{1}{4}$ 要落实，不能只写不等号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材常用逻辑用语与基本不等式的交汇题

结论推广：对 $x>0$，$mx+\frac{t}{x}⩾2\sqrt{mt}$（$m$，$t>0$），恒成立 $\iff 2\sqrt{mt}⩾$ 常数

方法推广：判断充要条件时先把”性质命题”翻译成参数范围（等式还是不等式），再比较范围大小：小推大充分，大推小必要

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-06
• 2015-陕西卷理-06 单-充分必要条件
• 2015-陕西卷理-09 单-对数函数