2015-陕西卷理-15 填-导数几何意义

本题导读

本题考查导数的几何意义以及两条直线垂直的斜率关系。通过求出指数函数在特定点的切线斜率，利用垂直关系反推反比例函数切点的导数值，从而确定切点坐标。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设曲线 $y=e^x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=\frac{1}{x}(x>0)$ 上点 $P$ 处的切线垂直，则 $P$ 的坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求第一条切线的斜率：对 $y=e^x$ 求导，将切点横坐标 $x=0$ 代入导函数，得到该点的切线斜率 $k_1$。
2. 利用垂直关系：设点 $P$ 处的切线斜率为 $k_2$。由两条直线垂直的充要条件知 $k_1\cdot k_2=-1$，从而求出 $k_2$。
3. 求点 $P$ 的横坐标：对 $y=\frac{1}{x}$ 求导，令其导数值等于 $k_2$，建立关于 $x$ 的方程并求解。
4. 确定坐标：将求得的横坐标代入曲线 $y=\frac{1}{x}$ 求出纵坐标，得到点 $P$。

✅【答案】

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$(1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $y=e^x$ 在 $(0,1)$ 处的切线斜率 $k_1$ 对 $y=e^x$ 求导得 $y^{\prime }=e^x$。 当 $x=0$ 时，$k_1=y^{\prime }{|}_{x=0}=e^0=1$。

第二步：求点 $P$ 处的切线斜率 $k_2$ 因为两条切线相互垂直，所以 $k_1\cdot k_2=-1$。 将 $k_1=1$ 代入，得 $k_2=-1$。

第三步：求点 $P$ 的坐标 设 $P(x_0,y_0)$，其中 $x_0>0$。 对 $y=\frac{1}{x}$ 求导得 $y^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$。 根据导数的几何意义，点 $P$ 处的切线斜率等于该点的导数值： $-\frac{1}{x_0^2}=-1$ 解得 $x_0^2=1$。 因为已知 $x>0$，所以 $x_0=1$。 将 $x_0=1$ 代入 $y=\frac{1}{x}$，得： $y_0=\frac{1}{1}=1$ 所以点 $P$ 的坐标为 $(1,1)$。

答案：$(1,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数的几何意义——函数在某点处的导数等于曲线在该点处切线的斜率；垂直直线斜率乘积为 $-1$。
• 核心方法：导数法。解题核心在于“斜率”这一中介量。
• 避坑指南：
  1. 熟记基本初等函数的导数公式，尤其是 $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ 和 $(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$。
  2. 注意题目给出的定义域限制 $x>0$，在解方程 $x^2=1$ 时要舍去负根。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 在公共点处切线垂直，则称这两条曲线在该点处正交。 *方法推广: 求解此类切线问题时，抓住“切点三性”：切点在曲线上、切点在切线上、切点处的导数等于切线斜率。

• 相关知识点：复合函数求导、直线的点斜式方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

$(1,1)$

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义
• 2014-陕西卷理-03 单-定积分
• 2011-陕西卷理-21