2014-陕西卷理-03 单-定积分

本题导读

本题考查定积分的基本计算方法，重点在于掌握基本初等函数的原函数以及牛顿-莱布尼茨公式的应用。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 定积分 ${\int }_0^1(2x+e^x)dx$ 的值为()

A. $e+2$　　　　　B. $e+1$　　　　　C. $e$　　　　　D. $e-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 寻找原函数：利用导数公式的反向运算，分别求出 $2x$ 和 $e^x$ 的原函数。
2. 运用公式：利用牛顿-莱布尼茨公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$。
3. 数值计算：将上限 $1$ 和下限 $0$ 分别代入原函数并作差。注意 $e^0=1$ 这一易错点。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

根据定积分的计算性质，首先确定被积函数 $f(x)=2x+e^x$ 的原函数 $F(x)$：

• $(x^2{)}^{\prime }=2x$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ 所以，$F(x)=x^2+e^x$。

根据牛顿-莱布尼茨公式： ${\int }_0^1(2x+e^x)dx=[x^2+e^x{]}_0^1$

代入上下限进行计算： $=(1^2+e^1)-(0^2+e^0)$ $=(1+e)-(0+1)$ $=1+e-1$ $=e$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：熟练掌握常见函数的原函数（幂函数、指数函数）以及定积分的标准计算流程。

2. 核心方法：牛顿-莱布尼茨公式是解决定积分问题的通用工具。

3. 避坑指南：计算下限代入值时，千万不能习惯性地认为代入 $0$ 结果就是 $0$。在本题中，$e^0=1$ 是计算的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 定积分的几何意义（曲边梯形的面积）、微积分基本定理。

2. 结论推广: 若被积函数为 $f(x)\pm g(x)$，可以分别积分后再相加减。

3. 方法推广: 涉及复杂函数积分时，可考虑换元积分法或分部积分法，但高考小题多以基本函数为主。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-15 填-定积分
• 2013-江西卷理-06 单-定积分
• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算