2015-陕西卷理-17 解-向量平行

本题导读

本题是解三角形的典型综合题。第一问通过平面向量平行的坐标条件建立三角函数等式，利用正弦定理实现“边转角”求得内角；第二问在已知两边一角的基础上，利用余弦定理求出第三边，最终通过面积公式求解。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$.向量 $\vec{m}=(a,\sqrt{3}b)$ 与 $\vec{n}=(\cos A,\sin B)$ 平行.

（I）求 $A$；

（II）若 $a=\sqrt{7}$，$b=2$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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1. （I）问切入点：利用向量平行的坐标充要条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ 建立等式 $a\sin B-\sqrt{3}b\cos A=0$。接着利用正弦定理将边 $a,b$ 转化为对应的正弦值，求出 $\tan A$ 的值。
2. （II）问切入点：已知 $a,b$ 及内角 $A$，优先考虑余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。建立关于 $c$ 的一元二次方程，解出 $c$ 后，代入面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。

✅【答案】

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所以，$△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \sin \frac{\pi }{3}$ $S=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（I）求角 $A$

因为 $\vec{m}//\vec{n}$，根据向量平行的坐标运算： $a\sin B-\sqrt{3}b\cos A=0$ 即： $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可知，$a=2R\sin A$，$b=2R\sin B$（$R$ 为外接圆半径）。 代入等式得： $\sin A\sin B=\sqrt{3}\sin B\cos A$ 由于 $B$ 为三角形内角，故 $\sin B\ne 0$，等边同时约去 $\sin B$： $\sin A=\sqrt{3}\cos A⟹\tan A=\sqrt{3}$ 因为 $0<A<\pi$，所以： $A=\frac{\pi }{3}$

（II）求 $△ABC$ 的面积

由余弦定理知：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。 将 $a=\sqrt{7}$，$b=2$，$A=\frac{\pi }{3}$ 代入： $(\sqrt{7}{)}^2=2^2+c^2-2\times 2\times c\times \cos \frac{\pi }{3}$ $7=4+c^2-4c\times \frac{1}{2}$ 整理得一元二次方程： $c^2-2c-3=0$ 解得 $(c-3)(c+1)=0$，即 $c=3$ 或 $c=-1$（舍去）。 所以，$△ABC$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times 2\times 3\times \sin \frac{\pi }{3}$ $S=3\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：向量平行的坐标形式 $x_1{y}_2=x_2{y}_1$；正弦定理与余弦定理的综合应用；三角形面积公式。
• 核心方法：边角转化法。在含有边和角的混合等式中，通常利用正弦定理统一为角，或者利用余弦定理统一为边。
• 避坑指南：
  1. 在约去 $\sin B$ 时应注明其不为 0。
  2. 计算余弦定理时，注意公式中各边与角的对应关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若已知两边及其中一边的对角（SSA），利用余弦定理列出的方程可能有两解、一解或无解，需根据三角形边长性质（正数）检验。 *方法推广: 向量与三角函数的结合是高考常考点，其本质是将几何关系转化为代数等式。

• 相关知识点：三角形内角和定理、辅助角公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.03 解三角形与解的个数判定
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2009-陕西卷理-17
• 2008-陕西卷理-17
• 2007-陕西卷理-17 解-正弦型函数图象性质