2016-上海卷文-12 填-参数方程

本题导读

本题考查平面向量的数量积及其几何意义、圆的参数方程与坐标表示，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 如图，已知点 $O(0,0),A(1,0),B(0,-1)$，$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BA}$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分析曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$：该方程即为 $x^2+y^2=1(y\ge 0)$，表示以原点为圆心、半径为 1 的上半圆。
2. 求出向量 $\overrightarrow{BA}$ 的坐标：已知 $B(0,-1),A(1,0)$，则 $\overrightarrow{BA}=A-B=(1-0,0-(-1))=(1,1)$。
3. 设点 $P$ 的坐标为 $(\cos \theta ,\sin \theta )(\theta \in [0,\pi ])$，写出向量 $\overrightarrow{OP}=(\cos \theta ,\sin \theta )$。
4. 计算数量积 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BA}$，利用辅助角公式将其化为关于 $\sin (\theta +\phi )$ 的函数，求出其在 $\theta \in [0,\pi ]$ 上的取值范围。

✅【答案】

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$[-1,\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 化简为 $x^2+y^2=1(y\ge 0)$， 故动点 $P$ 在单位圆的上半圆上，可设 $P(\cos \theta ,\sin \theta )$，其中 $\theta \in [0,\pi ]$。 向量 $\overrightarrow{OP}=(\cos \theta ,\sin \theta )$。 已知 $B(0,-1),A(1,0)$， 向量 $\overrightarrow{BA}=(1-0,0-(-1))=(1,1)$。 计算数量积： $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{BA}=\cos \theta \times 1+\sin \theta \times 1=\cos \theta +\sin \theta$。 利用辅助角公式化简： $\cos \theta +\sin \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$。 因为 $\theta \in [0,\pi ]$， 所以相位 $\theta +\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}\right]$。 在此范围内计算正弦函数的值域： 当 $\theta +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ 时，$\sin \left(\frac{5\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时最小值为 $\sqrt{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1$； 当 $\theta +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$（即 $\theta =\frac{\pi }{4}$）时，$\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=1$，此时最大值为 $\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$。 因此，数量积的取值范围是 $[-1,\sqrt{2}]$。 故答案为：$[-1,\sqrt{2}]$（或 $[-1,\sqrt{2}]$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积、圆的参数方程、三角函数值域。
2. 核心方法：坐标参数化与辅助角公式结合自变量取值范围求最值。
3. 避坑指南：动点 $P$ 在上半圆上，参数 $\theta$ 的取值范围是 $[0,\pi ]$，利用辅助角公式求值域时务必代入 $\theta$ 的实际范围检查正弦函数的最值能否取到。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考平面向量与圆锥曲线、三角函数交汇的压轴填空题。
2. 结论推广：圆上动点的向量数量积问题通常采用参数方程设点，转化为三角函数有界性问题求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-22 解-参数方程

专题合集 (Series)