2017-全国卷III文-22 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与极坐标方程的应用。核心在于消参求轨迹方程，再联立直线求交点的极径。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=kt\end{array}$（$t$ 为参数），直线 $l_2$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-2+m\\ y=\frac{m}{k}\end{array}$（$m$ 为参数），设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$，当 $k$ 变化时，$P$ 的轨迹为曲线 $C$．

(1)求 $C$ 的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线 $l_3:\rho (\cos \theta +\sin \theta )-\sqrt{2}=0$，点 $M$ 为 $l_3$ 与 $C$ 的交点，求 $M$ 的极径．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（轨迹方程）：

• 分别消去 $l_1,l_2$ 参数方程中的 $t$ 和 $m$，得到关于 $x,y,k$ 的两个直角坐标方程。
• 观察两个方程，利用代数变换（相乘或相除）消去参数 $k$，从而得到 $P$ 点的轨迹方程。

2. 第二问（极径计算）：

• 将 $l_3$ 的极坐标方程化为直角坐标方程。
• 联立轨迹 $C$ 与直线 $l_3$ 的方程，解出交点 $M$ 的直角坐标 $(x,y)$。
• 利用极径公式 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 计算结果。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $x^2-y^2=4$

(2) $\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由 $l_1$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=kt\end{array}$，消去参数 $t$ 得： $y=k(x-2)$ ① 由 $l_2$ 的参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-2+m\\ y=\frac{m}{k}\end{array}$，消去参数 $m$ 得： $y=\frac{1}{k}(x+2)$ ② 将 ① 式与 ② 式相乘（$k\ne 0$）： $y\cdot y=k(x-2)\cdot \frac{1}{k}(x+2)$ $y^2=(x-2)(x+2)=x^2-4$ 整理得曲线 $C$ 的普通方程为：$x^2-y^2=4$。 （注：由 ①② 可知 $y$ 不能恒为 0，且当 $k\to \infty$ 或 $k\to 0$ 时对应的点需根据定义域讨论，通常高考评分标准中直接给出 $x^2-y^2=4$ 即可）。

(2)解： 由 $l_3:\rho (\cos \theta +\sin \theta )-\sqrt{2}=0$，利用 $\rho \cos \theta =x,\rho \sin \theta =y$ 转换得： $x+y=\sqrt{2}$ ③ 联立曲线 $C$ 与 $l_3$ 的方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=4\\ x+y=\sqrt{2}\end{array}$ 由平方差公式得 $(x-y)(x+y)=4$，代入 $x+y=\sqrt{2}$ 得： $(x-y)\cdot \sqrt{2}=4\Rightarrow x-y=2\sqrt{2}$ ④ 联立 ③ 和 ④： $\{\begin{array}{l}x+y=\sqrt{2}\\ x-y=2\sqrt{2}\end{array}$，解得 $\{\begin{array}{l}x=\frac{3\sqrt{2}}{2}\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}$ 则点 $M$ 的坐标为 $(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 点 $M$ 的极径 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(\frac{3\sqrt{2}}{2}{)}^2+(-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}=\sqrt{\frac{18}{4}+\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{20}{4}}=\sqrt{5}$。 故 $M$ 的极径为 $\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 消参技巧：本题属于“结构性消参”，即通过两个方程相乘抵消倒数关系的 $k$。这是轨迹问题中的常见套路。
• 坐标转化：极坐标转化为直角坐标时，熟记 $\rho \cos \theta =x$ 和 $\rho \sin \theta =y$。
• 计算捷径：在第二问联立方程时，利用 $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ 可以极大简化计算量，避免代入消元产生的二次方程运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考选考”坐标系与参数方程”常规题。

2. 结论推广：两个含同一参数 $k$ 的直线方程，相乘消参可求交点的轨迹。

3. 方法推广：求极径时先化为直角坐标求交点，再由 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程
• 2014-新课标I卷文-23 解-参数方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程