2016-上海卷理-12 填-参数方程

本题导读

本题考查向量数量积的坐标运算、圆的参数方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 在平面直角坐标系中，已知 $A(1,0)$，$B(0,-1)$，$P$ 是曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 上一个动点，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别曲线：曲线 $y=\sqrt{1-x^2}$ 变形为 $x^2+y^2=1$ 且 $y\ge 0$，即单位圆的上半圆弧。
2. 参数化动点：设 $P(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，由于 $y\ge 0$，则 $\alpha \in [0,\pi ]$。
3. 建立向量坐标：

• $\overrightarrow{BA}=(1-0,0-(-1))=(1,1)$。
• $\overrightarrow{BP}=(\cos \alpha -0,\sin \alpha -(-1))=(\cos \alpha ,1+\sin \alpha )$。

4. 构建目标函数：利用坐标运算公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。
5. 求最值：利用辅助角公式化简并根据 $\alpha$ 的范围确定最值。

✅【答案】

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$[0,1+\sqrt{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 坐标化处理： 已知 $A(1,0)$，$B(0,-1)$，则 $\overrightarrow{BA}=(1,1)$。 点 $P$ 在半圆 $x^2+y^2=1$ ($y\ge 0$) 上，设 $P(\cos \alpha ,\sin \alpha )$，$\alpha \in [0,\pi ]$。 则 $\overrightarrow{BP}=(\cos \alpha -0,\sin \alpha -(-1))=(\cos \alpha ,\sin \alpha +1)$。

2. 计算数量积： $f(\alpha )=\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}=1\cdot \cos \alpha +1\cdot (\sin \alpha +1)$ $f(\alpha )=\sin \alpha +\cos \alpha +1$ 利用辅助角公式： $f(\alpha )=\sqrt{2}\sin (\alpha +\frac{\pi }{4})+1$

3. 确定范围： 因为 $\alpha \in [0,\pi ]$，所以 $\alpha +\frac{\pi }{4}\in [\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]$。 在此区间内：

• 当 $\alpha +\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ 时，$\sin$ 取最大值 $1$，此时 $f(\alpha {)}_{\max }=\sqrt{2}\times 1+1=1+\sqrt{2}$。
• 当 $\alpha +\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ 时，$\sin$ 取最小值 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，此时 $f(\alpha {)}_{\min }=\sqrt{2}\times (-\frac{\sqrt{2}}{2})+1=-1+1=0$。

故答案为：$[0,1+\sqrt{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 参数方程的威力：遇到圆或圆弧上的动点，第一时间联想 $(\cos \theta ,\sin \theta )$。

• 投影的几何解释：$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}=|\overrightarrow{BA}|\cdot (P\text{ 在 }BA\text{ 方向上的投影})$。这种几何视角在选择题中能显著减少计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $P$ 在下半单位圆 $y=-\sqrt{1-x^2}$ 上（$\theta \in [\pi ,2\pi ]$），同法可得 $x_P+y_P\in [-1,1]$，故 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}$ 的取值范围为 $[0,2]$。
2. 知识关联：圆的参数方程 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ 把向量数量积化归为三角函数的值域问题，与辅助角公式、数量积的投影意义（$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}=|\overrightarrow{BA}|\times$ 投影）三方互通。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-22 解-参数方程

专题合集 (Series)