2016-上海卷理-13 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、诱导公式（奇变偶不变，符号看象限），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)）设 $a, b \in R, c \in [0, 2 π)$ .若对任意实数 $x$ 都有 $2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = a sin (b x + c)$ ，则满足条件的有序实数组 $(a, b, c)$ 的组数为 .

🔍【思路分析】

破题导航

振幅分析：由于等式恒成立，两边的最大值和最小值必须相等，因此 $∣ a ∣ = 2$ ，即 $a = 2$ 或 $a = - 2$ 。

频率分析：由周期性可知 $∣ b ∣ = 3$ ，即 $b = 3$ 或 $b = - 3$ 。

相位与符号讨论：

当 $a = 2, b = 3$ 时，利用周期性寻找 $c$ 。

当 $a = 2, b = - 3$ 时，利用 $sin (- θ) = - sin θ$ 及诱导公式转化。

当 $a = - 2$ 时，利用 $- 2 sin θ = 2 sin (θ + π)$ 转化回 $a = 2$ 的情况。

区间限定：所有得到的 $c$ 必须落在 $[0, 2 π)$ 内。

✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

解：由题意， $2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = a sin (b x + c)$ 恒成立，可知 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3$ 。

情况一：当 $a = 2$ 时

若 $b = 3$ ，则 $sin (3 x - \frac{π}{3}) = sin (3 x + c)$ 。由周期性， $c = - \frac{π}{3} + 2 k π$ 。当 $k = 1$ 时， $c = \frac{5 π}{3} \in [0, 2 π)$ 。此时得到数组： $(2, 3, \frac{5 π}{3})$ 。

若 $b = - 3$ ，则 $2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = 2 sin (- 3 x + c)$ 。即 $sin (3 x - \frac{π}{3}) = - sin (3 x - c) = sin (3 x - c + π)$ （利用 $sin (π + α) = - sin α$ ）。故 $c - π = - \frac{π}{3} + 2 k π ⟹ c = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ 。当 $k = 0$ 时， $c = \frac{2 π}{3} \in [0, 2 π)$ 。注意：解析中提到的另一种转化 $sin (3 x - \frac{π}{3}) = sin [π - (3 x - \frac{π}{3})] = sin (- 3 x + \frac{4 π}{3})$ 亦可。此时 $b = - 3, c = \frac{4 π}{3}$ ，验证： $2 sin (- 3 x + \frac{4 π}{3}) = - 2 sin (3 x - \frac{4 π}{3}) = 2 sin (3 x - \frac{4 π}{3} + π) = 2 sin (3 x - \frac{π}{3})$ 。符合。故得到数组： $(2, - 3, \frac{4 π}{3})$ 。

情况二：当 $a = - 2$ 时 原式变为 $2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = - 2 sin (b x + c) = 2 sin (b x + c + π)$ 。

若 $b = 3$ ，则 $3 x - \frac{π}{3} = 3 x + c + π + 2 k π ⟹ c = - \frac{4 π}{3} + 2 k π$ 。当 $k = 1$ 时， $c = \frac{2 π}{3} \in [0, 2 π)$ 。此时得到数组： $(- 2, 3, \frac{2 π}{3})$ 。

若 $b = - 3$ ，则 $2 sin (3 x - \frac{π}{3}) = - 2 sin (- 3 x + c) = 2 sin (3 x - c)$ 。则 $- c = - \frac{π}{3} + 2 k π ⟹ c = \frac{π}{3} - 2 k π$ 。当 $k = 0$ 时， $c = \frac{π}{3} \in [0, 2 π)$ 。此时得到数组： $(- 2, - 3, \frac{π}{3})$ 。

综上所述，共有 4 组满足条件的有序实数组。

故答案为 4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心陷阱：很多学生只考虑了 $a = 2, b = 3$ 的简单情况。在三角函数恒等中，负号可以通过相位增加 $π$ 来抵消，而自变量系数 $b$ 的负号可以通过诱导公式改变相位来实现。

诱导公式的灵活运用：

$sin (- α) = - sin α$

$sin (α + π) = - sin α$

$sin (π - α) = sin α$

📖【试题探源与推广】

Tip

思考：若将范围 $c \in [0, 2 π)$ 扩大到 $c \in R$ ，则满足条件的数组有无穷多组。

规律总结：对于 $A sin (ω x + φ) = a sin (b x + c)$ ，若 $ω > 0$ ，则 $a$ 与 $b$ 的正负号配合会有 4 种初相对应。

下一题预告：填空题最后一题（第 14 题）通常涉及解析几何或函数综合的动态平衡，难度最高，请做好准备！

🔗【关联脉络】

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05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

2017-全国卷III理-06 单-三角函数

2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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