2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及二倍角正弦公式的逆用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 已知 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{4}{3}$，则 $\sin 2\alpha =$ ()

A. $-\frac{7}{9}$　　　　　　B. $-\frac{2}{9}$　　　　　　C. $\frac{2}{9}$　　　　　　D. $\frac{7}{9}$

🔍【思路分析】

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1. 对已知等式 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{4}{3}$ 两边平方。
2. 利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 与二倍角公式 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \alpha -\cos \alpha =\frac{4}{3}$，两边平方得： $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2={\sin }^2\alpha -2\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha =\frac{16}{9}$。 即 $1-\sin 2\alpha =\frac{16}{9}$， 所以 $\sin 2\alpha =1-\frac{16}{9}=-\frac{7}{9}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同角三角函数基本关系、二倍角正弦公式。
2. 核心方法：平方配凑，把 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha$ 化为 $1$，把 $-2\sin \alpha \cos \alpha$ 化为 $-\sin 2\alpha$。
3. 避坑指南：注意 $(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=1-\sin 2\alpha$，符号勿写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数求值基础题。
2. 结论推广：已知 $\sin \alpha \pm \cos \alpha$ 的值，可平方求得 $\sin 2\alpha$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数