2016-上海卷理-14 填-古典概型

本题导读

本题考查向量的线性运算、正八边形的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$O$ 为正八边形 $A_1{A}_2\cdots A_8$ 的中心，$A_1(1,0)$.任取不同的两点 $A_i,A_j$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j}=\vec{0}$，则点 $P$ 落在第一象限的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化向量关系：由 $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j}=\vec{0}$ 得 $\overrightarrow{OP}=-(\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j})$。
2. 确定点 $P$ 的坐标：正八边形顶点关于原点对称，即 $-\overrightarrow{O{A}_i}=\overrightarrow{O{A}_{i+4}}$（下标模 8）。 因此 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{A}_{i+4}}+\overrightarrow{O{A}_{j+4}}$。这意味着点 $P$ 的位置实际上是由正八边形中另外两个顶点向量求和确定的。
3. 计算总样本量：从 8 个顶点中任选 2 个，总基本事件数为 $C_8^2$。
4. 寻找目标事件：点 $P(x,y)$ 在第一象限需满足 $x>0,y>0$。我们需要枚举 $(A_i,A_j)$ 的组合，使得其关于原点的对称点之和落在第一象限。由于对称性，这等价于直接找 $\overrightarrow{O{A}_m}+\overrightarrow{O{A}_n}$ 落在第一象限的组合数。

✅【答案】

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$\frac{5}{28}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 样本空间： 从 8 个不同顶点中任取 2 个，基本事件总数为 $n=C_8^2=\frac{8\times 7}{2}=28$。
2. 顶点坐标规律： 正八边形顶点将圆周 8 等分，每份 $45^{\circ }$。 $A_1(1,0)$，$A_2(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$A_3(0,1)$，$A_4(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$A_5(-1,0)$，$A_6(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$，$A_7(0,-1)$，$A_8(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$。
3. 分析 $P$ 点位置： $\overrightarrow{OP}=-(\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j})$。要使 $P$ 在第一象限，需 $\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j}$ 的横纵坐标均为负（即落在第三象限）。 落在第三象限（不含坐标轴）的顶点有 $A_6$。 我们需要 $\overrightarrow{O{A}_i}+\overrightarrow{O{A}_j}$ 位于第三象限，可能的组合如下：

• 组合一：选取第三象限附近的点。
  • $\{A_5,A_6\}$：和为 $(-1-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$，在第三象限。
  • $\{A_5,A_7\}$：和为 $(-1,-1)$，在第三象限。
  • $\{A_6,A_7\}$：和为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},-1-\frac{\sqrt{2}}{2})$，在第三象限。
• 组合二：跨象限且合向量偏向第三象限。
  • $\{A_4,A_7\}$：和为 $(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}-1)$，因为 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1$，纵坐标为负，横坐标为负，在第三象限。
  • $\{A_5,A_8\}$：和为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}-1,-\frac{\sqrt{2}}{2})$，同理，在第三象限。
• 排除轴上情况：如 $\{A_4,A_8\}$ 和为 $(0,0)$，$P$ 在原点；$\{A_5,A_1\}$ 和为 $(0,0)$ 等。

4. 计数与概率： 满足条件的 $(A_i,A_j)$ 共有 5 组。 故 $P=\frac{5}{28}$。

故答案为 $\frac{5}{28}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称性的妙用：$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{A}_{i^{\prime }}}+\overrightarrow{O{A}_{j^{\prime }}}$ 说明点 $P$ 是正八边形某两个顶点构成的平行四边形的第四个顶点。
• 临界点判断：在处理跨象限组合（如 $A_4$ 与 $A_7$）时，必须准确比较 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 与 $1$ 的大小，确保合向量分量符号正确。

📖【试题探源与推广】

Tip

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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