2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

本题导读

考查平面向量模长相等的几何意义以及向量垂直的判定方法，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 设非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，则 ()

A. $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$　　　　B. $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|$　　　　C. $\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}$　　　　D. $|\mathbf{a}|>|\mathbf{b}|$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将等式两边同时平方：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}-\mathbf{b}{|}^2$。
2. 利用向量模的平方等于向量自身数量积的平方展开化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{a}-\mathbf{b}|$，两边平方得： $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2=(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2$ ${\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2={\mathbf{a}}^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+{\mathbf{b}}^2$ 化简得：$4\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0⟹\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$。 因为 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 均为非零向量，所以 $\mathbf{a}\perp \mathbf{b}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直与数量积的关系。
2. 核心方法：两边平方转化为数量积。
3. 避坑指南：向量模长相等两边平方是处理向量夹角与垂直问题的标准手段。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考平面向量性质常规题。
2. 结论推广: 以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形对角线长度相等，则该平行四边形为矩形（即两向量垂直）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2019-北京卷文-09 填-向量垂直
• 2019-全国卷I文-08 单-向量垂直