2016-上海卷理-16 单-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程、极坐标系下的曲线图象识辨，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 下列极坐标方程中，对应的曲线为如图的是 ()

A. $\rho =6+5\cos \theta$　　　B. $\rho =6+5\sin \theta$　　　C. $\rho =6-5\cos \theta$　　　D. $\rho =6-5\sin \theta$

🔍【思路分析】

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1. 观察对称性：图象关于 $y$ 轴（即极角 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 所在的直线）对称。

• 关于 $x$ 轴对称的通常含有 $\cos \theta$；
• 关于 $y$ 轴对称的通常含有 $\sin \theta$。
• 故初步锁定 (B) 或 (D)。

2. 分析极径变化：

• 当 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时（向上），图象向内凹陷，说明此时极径 $\rho$ 较小。
• 当 $\theta =\frac{3\pi }{2}$ 时（向下），图象向外凸出最远，说明此时极径 $\rho$ 最大。

3. 特殊值校验：代入 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 进行验证。

• (B) $\rho =6+5\sin \frac{\pi }{2}=11$（最大值，不符）；
• (D) $\rho =6-5\sin \frac{\pi }{2}=1$（最小值，符合图中向上凹陷的特征）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 观察图象特征：

1. 对称轴：曲线关于极点 $O$ 所在的垂直于极轴的直线（即 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 所在的直线）对称，排除 (A) 和 (C)。
2. 极径极值：

• 在 $\theta =0$ 或 $\theta =\pi$ 时（极轴方向），$\rho =6\pm 0=6$。
• 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时（正上方），图中曲线离极点最近。代入 (D) 得 $\rho =6-5(1)=1$；代入 (B) 得 $\rho =6+5(1)=11$。由图可知上方短，下方长，故 (D) 符合。
• 在 $\theta =\frac{3\pi }{2}$ 时（正下方），图中曲线离极点最远。代入 (D) 得 $\rho =6-5(-1)=11$。符合特征。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 极坐标图象辨析技巧：
  • 看对称性：$\cos \theta$ 左右对称，$\sin \theta$ 上下对称。
  • 找特殊点：代入 $0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ 是最有效的手段。
• 曲线类型：此类方程 $\rho =a+b\sin \theta$ ($a>b>0$) 产生的图形称为“蚶线（Limacon）”。当 $a=b$ 时，它就是著名的“心脏线”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果图象是一个尖点恰好在原点的心脏线，且尖点向左，方程应该是多少？ （答案：$\rho =a(1+\cos \theta )$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

D

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-22 解-极坐标
• 2017-全国卷II理-22 解-极坐标
• 2017-北京卷理-11 填-极坐标

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