2017-北京卷理-11 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 在极坐标系中，点 $A$ 在圆 ${\rho }^2-2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +4=0$ 上，点 $P$ 的坐标为 $(1,0)$，则 $|AP|$ 的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 坐标互化：利用互化公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$ 将圆的极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 化简圆方程：将得到的直角坐标方程通过配方法化为标准形式 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$，确定圆心 $C$ 和半径 $r$。
3. 分析几何关系：点 $P(1,0)$ 在圆外，点 $A$ 在圆上。

• $|AP|$ 的最小值 = 点 $P$ 到圆心 $C$ 的距离 $|PC|$ 减去圆的半径 $r$。
• $|AP|$ 的最大值 = $|PC|+r$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 1 【解析过程】 第一步：方程互化 由极坐标与直角坐标的转换公式： ${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$，$\rho \sin \theta =y$。 将圆的方程 ${\rho }^2-2\rho \cos \theta -4\rho \sin \theta +4=0$ 代换得： $x^2+y^2-2x-4y+4=0$。

第二步：配方确定圆心与半径 $(x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)-1-4+4=0$ $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$。 由此得：圆心坐标为 $C(1,2)$，半径 $r=1$。

第三步：求距离最小值 已知点 $P(1,0)$，计算点 $P$ 到圆心 $C(1,2)$ 的距离： $|PC|=\sqrt{(1-1{)}^2+(2-0{)}^2}=\sqrt{0^2+2^2}=2$。 由于 $|PC|=2>r=1$，点 $P$ 在圆外。 根据几何性质，点 $A$ 在圆上运动时，$|AP|$ 的最小值为： $|AP{|}_{\min }=|PC|-r=2-1=1$。 故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 互化基础：熟练掌握 ${\rho }^2,\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta$ 的转换是解此类题的敲门砖。
• 数形结合：解决圆上动点距离最值问题，首选几何法（考虑圆心距离），代数法（参数方程）通常计算量较大。
• 易错提醒：注意 $P$ 点坐标的含义。若题目给出的是极坐标 $P(1,0)$，则对应直角坐标也是 $(1,0)$，但如果 $P$ 是极坐标 $(1,\frac{\pi }{2})$，则需先行转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理圆的常见极坐标形式：

1. 过原点的圆：$\rho =2r\cos \theta$（中心在 $x$ 轴）或 $\rho =2r\sin \theta$（中心在 $y$ 轴）。
2. 一般位置的圆：${\rho }^2-2{\rho }_0\rho \cos (\theta -{\theta }_0)+{\rho }_0^2-r^2=0$（中心为 $({\rho }_0,{\theta }_0)$）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2018-全国卷I文-22 解-极坐标
• 2018-全国卷I理-22 解-极坐标