2016-全国卷I文-14 填-两角和差

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式、两角和与差的正切公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 已知 $\theta$ 是第四象限角，且 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3}{5}$，则 $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察已知角 $\theta +\frac{\pi }{4}$ 与目标角 $\theta -\frac{\pi }{4}$ 之间的关系：$(\theta -\frac{\pi }{4})=(\theta +\frac{\pi }{4})-\frac{\pi }{2}$。
2. 利用诱导公式将目标角转化为与已知角相关联的三角函数，结合象限符号求解。

✅【答案】

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$-\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{3}{5}$。 因为 $\theta$ 是第四象限角，假设 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$，则 $\theta +\frac{\pi }{4}\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$。 在该范围内，$\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)>0$（符合 $\frac{3}{5}$），此时 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\frac{4}{5}$。 从而 $\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin (\theta +\pi /4)}{\cos (\theta +\pi /4)}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$。 我们要求 $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)$： 注意 $\theta -\frac{\pi }{4}=\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}$。 根据诱导公式： $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=\tan \left[\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=-\cot \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{\tan \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)}$。 代入计算： $\tan \left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{1}{3/4}=-\frac{4}{3}$。 故答案为 $-\frac{4}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的诱导公式、同角三角函数关系。
2. 核心方法：角的关系转化法（整体代换）。
3. 避坑指南：注意第四象限角的正弦值为负，但此处是 $\theta +\frac{\pi }{4}$ 落在第一/四象限，需根据具体范围判定余弦符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：三角恒等变换常规题型。
2. 结论推广：$\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{2}\right)=-\cot \alpha =-\frac{1}{\tan \alpha }$ 是常用诱导公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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