2016-全国卷I文-15 填-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程与一般方程、直线与圆的位置关系（弦长公式、勾股定理），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 设直线 $y=x+2a$ 与圆 $C:x^2+y^2-2ay-2=0$ 相交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|=2\sqrt{3}$，则圆 $C$ 的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 将圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标和半径 $R$（半径含参数 $a$）。
2. 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$。
3. 根据半弦长、弦心距和半径构成的直角三角形关系：$R^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$，列方程求出参数 $a$ 或半径 $R^2$，进而求出圆的面积 $\pi R^2$。

✅【答案】

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$4\pi$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方： $x^2+(y-a{)}^2-a^2-2=0⟹x^2+(y-a{)}^2=a^2+2$。 由此可知圆心坐标为 $(0,a)$，半径平方为 $R^2=a^2+2$。 直线方程为 $x-y+2a=0$。 圆心 $(0,a)$ 到直线的距离为： $d=\frac{|0-a+2a|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}$。 已知弦长 $|AB|=2\sqrt{3}$，则半弦长为 $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{3}$。 在直角三角形中，满足 $R^2=d^2+{\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2$，即： $a^2+2={\left(\frac{|a|}{\sqrt{2}}\right)}^2+(\sqrt{3}{)}^2$ $a^2+2=\frac{a^2}{2}+3$ 两边同乘以 2 得： $2a^2+4=a^2+6⟹a^2=2$。 则圆的半径平方为： $R^2=a^2+2=2+2=4$。 故圆 $C$ 的面积为 $S=\pi R^2=4\pi$。 故答案为 $4\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程、点到直线距离公式、弦长公式与勾股定理。
2. 核心方法：几何法（数形结合构造直角三角形）。
3. 避坑指南：计算圆心到直线距离时，切记将直线方程化为一般式 $Ax+By+C=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何中直线与圆的位置关系常规题。
2. 结论推广：利用 $R^2=d^2+{\left(\frac{l}{2}\right)}^2$ 可以避免繁琐的联立方程与求根公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$4\pi$

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程

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