2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求解以及直线与椭圆相切的综合应用。第二问探讨了著名的“蒙日圆”结论，即从圆锥曲线外一点向曲线引两条相互垂直的切线，该点的轨迹是一个圆。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的一个焦点为 $(\sqrt{5},0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2) 若动点 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆外一点，且点 $P$ 到椭圆 $C$ 的两条切线相互垂直，求点 $P$ 的轨迹方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据焦点坐标得出 $c$，结合离心率 $e=\frac{c}{a}$ 求出 $a$，最后通过 $b^2=a^2-c^2$ 确定 $b^2$，写出方程。
2. 第二问：
   • 分类讨论：考虑切线斜率是否存在。若存在，设切线斜率为 $k$，则切线方程为 $y-y_0=k(x-x_0)$。
   • 联立判别式：将直线与椭圆方程联立，利用相切条件 $\Delta =0$ 得到一个关于 $k$ 的二次方程。
   • 利用垂直条件：两条切线相互垂直，意味着该二次方程的两个根 $k_1,k_2$ 满足 $k_1\cdot k_2=-1$。
   • 应用韦达定理：通过根与系数的关系建立 $x_0,y_0$ 的等式，即为轨迹方程。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程 由题意知，焦点在 $x$ 轴上，且 $c=\sqrt{5}$。 因为离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，所以 $a=3$。 则 $b^2=a^2-c^2=3^2-(\sqrt{5}{)}^2=9-5=4$。 故椭圆 $C$ 的标准方程为： $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

(2) 求点 $P$ 的轨迹方程 设过点 $P(x_0,y_0)$ 且与椭圆相切的直线为 $l$，斜率为 $k$。 则 $l$ 的方程为：$y-y_0=k(x-x_0)$，即 $y=kx+(y_0-k{x}_0)$。 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+(y_0-k{x}_0)\\ 4x^2+9y^2=36\end{array}$ 整理得：$(9k^2+4)x^2+18k(y_0-k{x}_0)x+9(y_0-k{x}_0{)}^2-36=0$。 因为直线与椭圆相切，所以判别式 $\Delta =0$： $\Delta =[18k(y_0-k{x}_0){]}^2-4(9k^2+4)[9(y_0-k{x}_0{)}^2-36]=0$ 化简整理得：$(x_0^2-9)k^2-2x_0{y}_{0}k+y_0^2-4=0$。

由于点 $P$ 发出的两条切线 $l_1,l_2$ 相互垂直，设其斜率分别为 $k_1,k_2$。 则 $k_1,k_2$ 是上述关于 $k$ 的二次方程的两个根，且满足 $k_1\cdot k_2=-1$。 根据韦达定理： $k_1\cdot k_2=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-9}=-1$ 整理得：$y_0^2-4=-(x_0^2-9)⟹x_0^2+y_0^2=13$。

特殊情况校验： 当切线斜率不存在时，切线分别为 $x=\pm 3$ 和 $y=\pm 2$，交点为 $(\pm 3,\pm 2)$。 代入 $x^2+y^2=3^2+2^2=13$，满足上述方程。

综上可知，点 $P$ 的轨迹方程为： $x^2+y^2=13$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆标准方程与蒙日圆（切线轨迹）。

2. 核心方法：由焦点与离心率求方程；设切线用判别式为 0，垂直得 $k_1{k}_2=-1$，韦达定理求轨迹。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 蒙日圆（两条垂直切线交点轨迹为圆）。

2. 结论推广: 椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的蒙日圆为 $x^2+y^2=13$。

3. 方法推广: 切线垂直问题联立判别式与韦达定理求轨迹。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-大纲卷文-09 单-椭圆标准方程
• 2013-广东卷文-09 单-椭圆标准方程