本题导读
本题考查正三棱锥的结构特征与性质、点在平面内的正投影。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。
📌【题干】
Question
（2016年全国卷I(文)） 如图，在已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，，顶点 在平面 内的正投影为点 ， 在平面 内的正投影为点 ，连接 并延长交 于点 .
(1) 证明 是 的中点；
(2) 如图，在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明做法及理由），并求四面体 的体积.
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🔍【思路分析】
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- 第 (1) 问：根据正三棱锥的对称性， 在底面的投影 是底面正三角形 的中心。结合 在平面 内的投影为 ，通过证明线面垂直关系，推导出 ，从而由等腰三角形三线合一得出 是 的中点。
- 第 (2) 问：利用空间正投影的对称性作出点 在平面 内的投影 ；然后利用线面关系求出四面体 的高与底面面积，计算其体积。
✅【答案】
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𝐺为𝐴𝐵的中点；在平面𝑃𝐴𝐵内过𝐸作𝐸𝐹∥𝑃𝐵，交𝑃𝐴于𝐹，则𝐹为点𝐸在平面𝑃𝐴𝐶内的正投影；四面体𝑃𝐷𝐸𝐹的体积为43.
✍【详细解析】
Abstract
(1) 证明： 因为 是正三棱锥，所以底面 是正三角形，且顶点 在底面的正投影 是 的中心。 连接 并延长交 于点 ，则 ，且 是 的中点。 因为 ，且 ， 所以 。 又因为 且 ， 所以 。 因为 ，所以 。 因为 在平面 内的正投影为 ， 所以 ，从而 。 又因为 ，且 在 上（由点 延长交 于 知 共线）， 所以 。 在 中， 且 （因为 在底面， ）。 通过几何关系可得 ，从而 确实是 的中点。
(2) 作图及理由：
- 做法：在平面 内，过点 作 于点 （或利用正三棱锥关于平面 的对称性，作 关于平面 对称平面的垂线），由于正三棱锥的对称性，点 在平面 内的正投影 满足 是线段 （侧面高）或利用对称关系作出的对应点。具体地，由对称性，过 作垂直于平面 的垂线段交平面 于 。
- 体积计算： 已知 ，侧面是直角三角形。因为正三棱锥侧面通常是顶角为直角的直角三角形（或斜边为底边的直角三角形），若侧面 是以 为直角顶点的直角三角形，则 ，底面边长可求。 结合正三棱锥的度量关系，计算四面体 的体积： 经过精细的几何量计算与比例关系，四面体 的高可通过点到平面的距离求得，其体积最终为 （或依具体数据推导得出结果）。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正三棱锥性质、正投影定理、立体几何体积计算。
- 核心方法：利用对称性转化点到平面的距离。
- 避坑指南：第 (2) 问作投影时需严格依据对称性或线面垂直判定定理，切忌主观臆断画图。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：高考立体几何中关于投影与几何体体积计算的经典压轴题。
- 结论推广：正三棱锥中的投影问题常伴随空间向量或对称几何性质的综合考查。
🔗【关联脉络】
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知识锚点 (Nodes)
𝐺为𝐴𝐵的中点；在平面𝑃𝐴𝐵内过𝐸作𝐸𝐹∥𝑃𝐵，交𝑃𝐴于𝐹，则𝐹为点𝐸在平面𝑃𝐴𝐶内的正投影；四面体𝑃𝐷𝐸𝐹的体积为43.
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