2017-全国卷II文-18 解-线面平行

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定，以及面面垂直性质定理与四棱锥体积的计算。核心在于利用面面垂直性质把侧面等边三角形的高转化为棱锥的高，再用坐标法或几何法求体积。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等边三角形且垂直于底面 $ABCD$，$AB=BC=\frac{1}{2}AD$，$\angle BAD=\angle ABC=90^{\circ }$.

(1) 证明：直线 $BC\parallel$ 平面 $PAD$；

(2) 若 $△PCD$ 面积为 $2\sqrt{7}$，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：由底面 $\angle BAD=\angle ABC=90^{\circ }$ 得 $BC\parallel AD$，再用线面平行判定定理（平面外一条直线与平面内一条直线平行）即可证明 $BC\parallel$ 平面 $PAD$。
2. 第(2)问：设 $AB=BC=a$，则 $AD=2a$。由面面垂直性质与等边三角形确定高 $PM$，再用 $△PCD$ 的面积反求 $a$，最后代体积公式 $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{底}}h$ 求解。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $V=4\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明 $BC\parallel$ 平面 $PAD$： 在底面四边形 $ABCD$ 中，因为 $\angle BAD=\angle ABC=90^{\circ }$， 所以 $AD\parallel BC$。 又因为直线 $BC\not\subset$ 平面 $PAD$，且直线 $AD\subset$ 平面 $PAD$， 由直线与平面平行的判定定理可得 $BC\parallel$ 平面 $PAD$。

(2)求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积： 设 $AB=BC=a$，则 $AD=2a$。 取 $AD$ 的中点 $M$，连接 $PM$。 因为侧面 $PAD$ 为等边三角形，所以 $PM\perp AD$。 又因为平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，且平面 $PAD$ 与平面 $ABCD$ 的交线为 $AD$， 所以 $PM\perp$ 平面 $ABCD$，即 $PM$ 为四棱锥的高。 由等边三角形边长 $AD=2a$，得 $PM=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\sqrt{3}a$。 在底面直角梯形 $ABCD$ 中，$AB=a$，$BC=a$，$AD=2a$，$\angle BAD=\angle ABC=90^{\circ }$， 故 $CD=\sqrt{B{C}^2+(AD-AB{)}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。 在 $△PCD$ 中，由 $PM\perp$ 平面 $ABCD$，可知点 $P$ 到直线 $CD$ 的距离即 $△PCD$ 中 $CD$ 边上的高。 建立空间直角坐标系，以 $M$ 为原点， 则 $A(-a,0,0)$，$D(a,0,0)$，$P(0,0,\sqrt{3}a)$，$B(-a,a,0)$，$C(0,a,0)$。 向量 $\overrightarrow{CD}=(a,-a,0)$，$\overrightarrow{CP}=(0,-a,\sqrt{3}a)$， 由向量叉乘得 $S_{△PCD}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{CD}\times \overrightarrow{CP}\right|=\frac{1}{2}\sqrt{(\sqrt{3}{a}^2{)}^2+(\sqrt{3}{a}^2{)}^2+(-a^2{)}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{7a^4}=\frac{\sqrt{7}}{2}{a}^2$。 由已知 $S_{△PCD}=2\sqrt{7}$，得 $\frac{\sqrt{7}}{2}{a}^2=2\sqrt{7}$，即 $a^2=4$，$a=2$。 此时底面梯形 $ABCD$ 的面积 $S_{ABCD}=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot AB=\frac{1}{2}(a+2a)\cdot a=\frac{3}{2}{a}^2=6$。 四棱锥的高 $h=PM=\sqrt{3}a=2\sqrt{3}$。 因此 $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\times 6\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行判定定理、面面垂直性质定理、锥体体积计算。
2. 核心方法：空间坐标系建系与向量法求三角形面积。
3. 避坑指南：利用面面垂直性质时，必须明确「垂直于交线」这一条件，才能把侧面高转化为几何体的高；本题 $a$ 的取值须由面积条件反解，切勿直接把 $\sqrt{7}{a}^2$ 误当成面积。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题常考题型，考查线面平行与垂直、体积计算。
2. 结论推广：面面垂直的几何体中，常将侧面等腰（或等边）三角形的高直接作为整个几何体的高。
3. 方法推广：求点到直线的距离或三角形面积，可用坐标法、向量叉乘，也可用几何等积转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

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• 2013-四川卷理-19 解-线面平行
• 2013-安徽卷理-19 解-线面平行