2016-全国卷I理-08 单-对数

本题导读

本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 若 $a>b>1,0<c<1$，则 ()

A. $a^c<b^c$　　B. $a{b}^c<b{a}^c$　　C. $a{\log }_{b}c<b{\log }_{a}c$　　D. ${\log }_{a}c<{\log }_{b}c$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 项（幂函数）：底数 $a>b>1$，指数 $c>0$。考虑幂函数 $f(x)=x^c$ 的增减性。
2. 分析 B 项（指数与幂综合）：将式子变形为比较 $\frac{b^c}{b}$ 与 $\frac{a^c}{a}$，即比较 $b^{c-1}$ 与 $a^{c-1}$。
3. 分析 C 项（系数与对数）：注意 ${\log }_{b}c$ 和 ${\log }_{a}c$ 均为负数。利用换底公式和对数性质进行转换比较。
4. 分析 D 项（对数换底比较）：利用换底公式 ${\log }_{a}c=\frac{\ln c}{\ln a}$，结合 $\ln c<0$ 和 $y=\ln x$ 的单调性进行判断。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 对于 A 项： 令 $f(x)=x^c$。因为 $c>0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 又因为 $a>b>1$，所以 $a^c>b^c$。故 A 错误。

2. 对于 B 项： $a{b}^c<b{a}^c⟺\frac{b^c}{b}<\frac{a^c}{a}⟺b^{c-1}<a^{c-1}$。 令 $g(x)=x^{c-1}$。因为 $0<c<1$，所以 $c-1<0$，$g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 因为 $a>b>1$，所以 $a^{c-1}<b^{c-1}$。故 B 错误。

3. 对于 D 项： ${\log }_{a}c=\frac{\ln c}{\ln a},{\log }_{b}c=\frac{\ln c}{\ln b}$。 因为 $0<c<1$，所以 $\ln c<0$。 因为 $a>b>1$，所以 $\ln a>\ln b>0⟹\frac{1}{\ln a}<\frac{1}{\ln b}$。 两边同乘负数 $\ln c$，不等号反向：$\frac{\ln c}{\ln a}>\frac{\ln c}{\ln b}$。 即 ${\log }_{a}c>{\log }_{b}c$。故 D 错误。

4. 对于 C 项： 由 D 项结论可知 ${\log }_{a}c>{\log }_{b}c$，且两者都小于 $0$。 则 $0<-{\log }_{a}c<-{\log }_{b}c$。 又因为 $a>b>1>0$，根据不等式乘法性质： $a(-{\log }_{a}c)>b(-{\log }_{b}c)⟺-a{\log }_{a}c>-b{\log }_{b}c$。 不等号再次反向：$a{\log }_{a}c<b{\log }_{b}c$。 （注：解析图示中 C 项推导利用了系数交换和 log 的负值性质，结论一致）。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单调性是核心：比较大小题目首选函数单调性。关键在于分清自变量在底数位置（幂函数）还是指数位置（指数函数）。
• 负值的陷阱：对数式 ${\log }_{x}y$ 当 $x,y$ 一个大于 $1$ 一个小于 $1$ 时为负值。不等式两边同乘负数必须变号。
• 此类题若分析困难，可取特值验证。如令 $a=4,b=2,c=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $c>1$，则选项 A, B, D 的大小关系会如何变化？
2. 知识关联：本题考查了初等函数的综合性质，是历年全国卷必考的基础题型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式

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