2017-上海卷-03 填-分式不等式

本题导读

本题考查分式不等式的解法，以及不等式的基本性质。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 不等式 $\frac{x-1}{x}>1$ 的解集为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：左边是分式，右边是常数 1。注意分母 $x\ne 0$。
2. 选择策略：

• 方法一（分离常数法）：将分子拆分为含有分母的形式，即 $\frac{x-1}{x}=\frac{x}{x}-\frac{1}{x}=1-\frac{1}{x}$。这样可以将不等式转化为 $-\frac{1}{x}>0$。
• 方法二（移项通分法）：将 1 移至左边，得 $\frac{x-1}{x}-1>0$，通分合并后再求解。

3. 确定符号：根据分式值的正负情况确定 $x$ 的取值范围。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $(-\infty ,0)$ 【解析过程】 方法一（分离常数）： 原不等式可化为：$1-\frac{1}{x}>1$ 两边同时减去 1，得：$-\frac{1}{x}>0$ 即 $\frac{1}{x}<0$ 由实数除法的符号法则可知，$x<0$。 所以不等式的解集为 $(-\infty ,0)$。

方法二（标准移项）： $\frac{x-1}{x}-1>0$ $\frac{x-1-x}{x}>0$ $\frac{-1}{x}>0$ 得 $x<0$。 所以不等式的解集为 $(-\infty ,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心禁忌：严禁在不确定分母正负的情况下直接去分母。若直接两边乘以 $x$，未考虑 $x<0$ 时需变向，会导致错误结果。
• 解集表示：填空题要求写“解集”，结果必须写成集合 $\{x|x<0\}$ 或区间 $(-\infty ,0)$ 的形式，只写 $x<0$ 可能会被扣分。
• 分离常数法在处理分子、分母次数相同（齐次）的分式时非常高效，建议优先考虑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若不等式改为 $\frac{x-1}{x}\ge 1$，解集依然是 $(-\infty ,0)$，因为分式永远不等于 1（由于 $-1/x\ne 0$）。
2. 知识关联：分式不等式 $\frac{f(x)}{g(x)}>0$ 等价于整式不等式 $f(x)\cdot g(x)>0$（且 $g(x)\ne 0$）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-10 单-分式不等式
• 1987-广东文-13 单-分式不等式
• 1987-广东理-07 单-分式不等式