2016-全国卷I理-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的数量积性质、向量垂直的判定（勾股定理形式），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 设向量 $\vec{a}=(m,1)$，$\vec{b}=(1,2)$，且 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$，则 $m=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化几何条件：观察式子 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$，这符合勾股定理的形式。根据向量数量积展开式 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$，可推导出 $2\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，即 $\vec{a}\perp \vec{b}$。

2. 建立坐标方程：已知 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的坐标，利用数量积的坐标公式 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$ 建立方程。

3. 求解参数：解一元一次方程求出 $m$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 由已知条件推导垂直关系： 因为 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2$， 由向量运算性质 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$， 对比得 $2\vec{a}\cdot \vec{b}=0$，即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

2. 代入坐标计算： 已知 $\vec{a}=(m,1)$，$\vec{b}=(1,2)$， 则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=m\times 1+1\times 2=m+2$。

3. 求得结果： 由 $m+2=0$，解得 $m=-2$。

故答案为 $-2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 重要结论：$|\vec{a}\pm \vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2\pm 2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$ 是高考向量题中最常用的公式之一。
• 垂直的充要条件：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
• 本题属于基础计算题，关键在于第一步对已知恒等式的准确识别。如果直接代入坐标展开计算（即 $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(m+1{)}^2+(1+2{)}^2$），虽然也能算出答案，但运算量会稍大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若条件改为 $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$，结果是否相同？（相同，该条件同样意味着 $\vec{a}\perp \vec{b}$，因为对角线相等的平行四边形是矩形）。
2. 知识关联：本题考查了数形结合思想，是全国卷填空题部分的“送分题”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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