2016-全国卷II文-06 单-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程与圆心坐标、点到直线的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 圆 $x^2+y^2-2x-8y+13=0$ 的圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为 $1$，则 $a=$ ()

A. $-\frac{4}{3}$　　　　　　　B. $-\frac{3}{4}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程通过配方化为标准方程，求出圆心坐标。
2. 利用点到直线的距离公式列出关于 $a$ 的方程并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方： $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2-1-16+13=0⟹(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=4$。 由此可知圆心坐标为 $(1,4)$。 圆心到直线 $ax+y-1=0$ 的距离为 $1$，根据点到直线的距离公式： $d=\frac{|a(1)+4-1|}{\sqrt{a^2+1^2}}=\frac{|a+3|}{\sqrt{a^2+1}}=1$。 两边平方得： $(a+3{)}^2=a^2+1$ $a^2+6a+9=a^2+1$ $6a=-8⟹a=-\frac{4}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆心坐标求法、点到直线的距离公式。
2. 核心方法：配方法与平方解方程。
3. 避坑指南：去绝对值后平方时注意不要漏掉中间交叉项 $6a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：直线与圆的位置关系常规题。
2. 结论推广：含绝对值方程通常通过两边平方转化为一元一次方程求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程

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