2016-全国卷II文-10 单-对数

本题导读

本题考查函数的定义域与值域、对数与指数函数的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 下列函数中，其定义域和值域分别与函数 $y=10^{\lg x}$ 的定义域和值域相同的是 ()

A. $y=x$　　　　B. $y=\lg x$　　　　C. $y=2^x$　　　　D. $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$

🔍【思路分析】

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1. 先求出给定函数 $y=10^{\lg x}$ 的定义域和值域。
2. 逐一分析四个选项中各函数的定义域和值域，找出与原函数完全一致的选项。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于原函数 $y=10^{\lg x}$：

• 定义域：由于对数式中真数大于 0，即 $x>0$，故定义域为 $(0,+\infty )$。
• 值域：根据对数恒等式 $10^{\lg x}=x$（其中 $x>0$），其值域为 $(0,+\infty )$。 因此，原函数的定义域为 $(0,+\infty )$，值域为 $(0,+\infty )$。 现在分析各个选项：
• 对于 (A) $y=x$，其定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $\mathbb{R}$，不符；
• 对于 (B) $y=\lg x$，其定义域为 $(0,+\infty )$，但值域为 $\mathbb{R}$，不符；
• 对于 (C) $y=2^x$，其定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0,+\infty )$，不符；
• 对于 (D) $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$，其定义域要求 $x>0$，即 $(0,+\infty )$；其值域 $\frac{1}{\sqrt{x}}>0$，即 $(0,+\infty )$，完全相符。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的定义域、值域、对数恒等式。
2. 核心方法：先化简再求定义域与值域。
3. 避坑指南：求 $y=10^{\lg x}$ 的定义域时，不能先把它化简为 $y=x$ 后误认为定义域是 $\mathbb{R}$，因为原函数解析式中含有 $\lg x$，必须满足真数 $x>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考函数基本性质常规题。
2. 结论推广：形如 $y=a^{{\log }_{a}f(x)}$ 的函数，其定义域受制于 $f(x)>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-08 填-奇函数

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