2017-上海卷-08 填-奇函数

本题导读

本题考查奇函数的定义与性质，以及分段函数的解析式确定。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 定义在 $(0,+\infty )$ 上的函数 $y=f(x)$ 的反函数为 $y=f^{-1}(x)$.若 $g(x)=\{\begin{array}{ll}{3}^x-1,& x\le 0\\ f(x),& x>0\end{array}$ 为奇函数，则 $f^{-1}(x)=2$ 的解为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解反函数转换：题目要求 $f^{-1}(x)=2$ 的解 $x$，根据反函数定义，这等价于求 $x=f(2)$。
2. 利用奇函数性质：由于 $g(x)$ 是奇函数，根据定义对于任意 $x>0$，有 $g(x)=-g(-x)$。
3. 求 $f(x)$ 解析式：

• 当 $x>0$ 时，$-x<0$。
• 此时 $g(-x)$ 对应解析式中的第一段，即 $g(-x)=3^{-x}-1$。
• 因此 $f(x)=g(x)=-(3^{-x}-1)=1-3^{-x}$。

4. 代入计算：将 $2$ 代入 $f(x)$ 求得对应的 $x$ 值。

✅【答案】

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$\frac{8}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{8}{9}$ 【解析过程】 因为 $g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数， 所以当 $x>0$ 时，$-x<0$，且 $g(x)=-g(-x)$。 由已知 $x\le 0$ 时，$g(x)=3^x-1$， 则 $g(-x)=3^{-x}-1$。 故当 $x>0$ 时，$f(x)=g(x)=-(3^{-x}-1)=1-3^{-x}$。 因为要求 $f^{-1}(x)=2$ 的解， 根据反函数性质，该方程等价于 $x=f(2)$。 将 $x=2$ 代入 $f(x)$ 解析式得： $x=f(2)=1-3^{-2}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$。 所以 $f^{-1}(x)=2$ 的解为 $\frac{8}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 奇函数处理：处理分段函数奇偶性时，“关于原点对称代入”是标准动作，即通过已知的负半轴（或正半轴）解析式去求另一半。
• 反函数陷阱：很多考生习惯于先求 $f^{-1}(x)$ 的表达式再代入 $2$，但本题直接利用 $f(2)$ 求解更加快捷且不易出错。
• 上海卷填空题的中段往往考查这种多性质叠加的小综合，理清“奇函数 $\to$ $f(x)$ 解析式 $\to$ 反函数值”的逻辑链条是提速的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果 $g(x)$ 改为偶函数，结果会是多少？（提示：$g(x)=g(-x)=3^{-x}-1$，则 $x=f(2)=3^{-2}-1=-\frac{8}{9}$）。
2. 知识关联：本题考查的是反函数的数值对应关系。在更难的压轴题中，可能会考查反函数与原函数图象关于 $y=x$ 对称的几何性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-05 单-奇函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 1985-广东文-15 单-奇函数的判定