2016-全国卷II文-11 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式、二倍角公式与二次函数最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 函数 $f(x)=\cos 2x+6\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ 的最大值为 ()

A. $4$　　　　　　　B. $5$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $7$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用诱导公式 $\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$ 将函数中的角统一。
2. 利用二倍角公式将 $\cos 2x$ 转化为含 $\sin x$ 的二次式：$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$。
3. 利用换元法设 $t=\sin x$，转化为闭区间 $[-1,1]$ 上的二次函数求最大值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据诱导公式，$\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin x$。 利用二倍角公式，$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$。 将上述关系代入原函数 $f(x)$ 中： $f(x)=1-2{\sin }^{2}x+6\sin x$。 令 $t=\sin x$，因为 $x\in \mathbb{R}$，所以 $t\in [-1,1]$。 原函数转化为关于 $t$ 的二次函数： $g(t)=-2t^2+6t+1$。 该二次函数的对称轴为 $t=-\frac{6}{2(-2)}=\frac{3}{2}$。 因为抛物线开口向下，且对称轴 $t=\frac{3}{2}$ 在区间 $[-1,1]$ 的右侧， 所以在区间 $[-1,1]$ 上，$g(t)$ 单调递增。 当 $t=1$ 时，函数取得最大值： $g(1)=-2(1{)}^2+6(1)+1=-2+6+1=5$。 故函数 $f(x)$ 的最大值为 $5$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换、二次函数在闭区间上的最值。
2. 核心方法：换元法转化为二次函数。
3. 避坑指南：换元时切记标注新变量 $t=\sin x$ 的取值范围为 $[-1,1]$，不可忽略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数求最值常规题型。
2. 结论推广：形如 $y=a\cos 2x+b\sin x+c$ 的函数恒可通过二倍角公式转化为关于 $\sin x$ 的二次函数求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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