2016-全国卷II理-03 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件（数量积为零），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知向量 $\vec{a}=(1,m)$，$\vec{b}=(3,-2)$，且 $(\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{b}$，则 $m=$ ()

A. $-8$　　　　　　　B. $-6$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 求和向量坐标：根据向量加法的坐标运算法则，先求出 $\vec{a}+\vec{b}$ 的坐标。

2. 利用垂直关系：若向量 $\vec{u}\perp \vec{v}$，则其数量积 $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$。

3. 列方程求解：将 $\vec{a}+\vec{b}$ 和 $\vec{b}$ 的坐标代入数量积公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$，解出 $m$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 计算 $\vec{a}+\vec{b}$： 因为 $\vec{a}=(1,m)$，$\vec{b}=(3,-2)$， 所以 $\vec{a}+\vec{b}=(1+3,m-2)=(4,m-2)$。
2. 建立数量积方程： 因为 $(\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{b}$， 所以 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=0$。 即 $4\times 3+(m-2)\times (-2)=0$。
3. 解方程： $12-2m+4=0$ $16=2m$ $m=8$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心公式：若 $\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)$，则 $\vec{a}\cdot \vec{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$。
• 垂直判定：$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。
• 技巧点拨：也可以直接利用数量积的分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2=0$。 计算 $\vec{a}\cdot \vec{b}=3-2m$，$|\vec{b}{|}^2=3^2+(-2{)}^2=13$。 则 $3-2m+13=0⟹2m=16⟹m=8$。这种方法在处理模长已知时更快。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为 $(\vec{a}+\vec{b})//\vec{b}$，则应利用共线条件 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
2. 知识关联：本题考查了向量的代数运算，是解决解析几何中垂直问题的基础工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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