2016-全国卷II理-06 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原空间几何体、圆柱的表面积公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 ()

A. $20\pi$　　　　　　　B. $24\pi$　　　　　　　C. $28\pi$　　　　　　　D. $32\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：

• 由正视图和侧视图可知，上方为一个三角形，下方为一个矩形；俯视图为一个圆心带点的圆。
• 由此断定该几何体由上圆锥和下圆柱组成。

2. 提取关键数据：

• 俯视图圆的直径为 $4$，故半径 $R=2$。
• 圆柱的高 $h_{柱}=4$。
• 圆锥的高 $h_{锥}=2\sqrt{3}$。

3. 计算各部分面积：

• 圆锥部分：只计算侧面积。需先求母线 $l=\sqrt{R^2+h_{锥}^2}$。
• 圆柱部分：计算侧面积和一个底面积（下底面）。

4. 汇总：总面积 $S=S_{锥侧}+S_{柱侧}+S_{底}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求圆锥的母线 $l$： 由三视图可知，圆锥底面半径 $R=2$，高 $h=2\sqrt{3}$。 根据勾股定理，母线 $l=\sqrt{2^2+(2\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+12}=\sqrt{16}=4$。
2. 计算各部分面积：

• 圆锥侧面积：$S_{锥侧}=\pi Rl=\pi \times 2\times 4=8\pi$。
• 圆柱侧面积：$S_{柱侧}=2\pi R{h}_{柱}=2\pi \times 2\times 4=16\pi$。
• 圆柱下底面积：$S_{底}=\pi R^2=\pi \times 2^2=4\pi$。

3. 计算总表面积： $S_{总}=S_{锥侧}+S_{柱侧}+S_{底}=8\pi +16\pi +4\pi =28\pi$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式熟练度：圆锥侧面积 $S=\pi Rl$，圆柱侧面积 $S=2\pi Rh$ 是常考基础。

• 易错提醒：组合体的表面积计算中，重合的面（即圆锥的底面与圆柱的上底面）处于几何体内部，不属于“表面”，绝对不能重复计算或错误计入。

• 在处理三视图时，先确定主结构，再根据比例线段找半径和高，计算时带上 $\pi$ 统一处理，避免提前近似。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若把圆柱的高改为 3（其他条件不变），则表面积为 $S=8\pi +2\pi \times 2\times 3+4\pi =24\pi$；可见组合体表面积 = 锥侧 + 柱侧 + 一个底面，重合面绝不计入。
2. 知识关联：三视图还原组合体时先定主体（圆柱），再由比例线段定半径与高；圆锥侧面积 $\pi Rl$、圆柱侧面积 $2\pi Rh$ 是必背公式，“重合面不计入表面积”是此类题的第一易错点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图
• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合

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