2016-全国卷II理-20 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆的位置关系（联立方程）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知椭圆 $E:\frac{x^2}{t}+\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点在 $x$ 轴上，$A$ 是 $E$ 的左顶点.斜率为 $k$ ($k>0$) 的直线交 $E$ 于 $A,M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$MA\perp NA$.

(1)当 $t=4$，$|AM|=|AN|$ 时，求 $△AMN$ 的面积；

(2)当 $2|AM|=|AN|$ 时，求 $k$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 确定基础条件：由于焦点在 $x$ 轴上，故 $t>3$。顶点 $A(-\sqrt{t},0)$。
2. 第一问思路：

• $t=4⟹A(-2,0)$，椭圆为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。
• $MA\perp NA$ 且 $|AM|=|AN|$ 说明 $△AMN$ 是等腰直角三角形。
• 利用对称性可知 $k=1$（或通过联立方程求解）。
• 联立直线 $y=x+2$ 与椭圆方程，求出 $M,N$ 坐标，进而求面积。

3. 第二问思路：

• 设直线 $AM$ 方程为 $y=k(x+\sqrt{t})$，直线 $AN$ 斜率为 $-\frac{1}{k}$。

• 分别联立直线 $AM,AN$ 与椭圆方程，利用弦长公式表示出 $|AM|$ 和 $|AN|$。

• 根据 $2|AM|=|AN|$ 建立 $t$ 与 $k$ 的关系式。

• 由 $t>3$ 解关于 $k$ 的不等式。

✅【答案】

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（1）|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|=4，点𝐸的轨迹方程为𝑥24+𝑦23=1.（2）四边形𝑀𝑃𝑁𝑄面积的取值范围为[12,8√3).

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)当 $t=4$ 时，椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，左顶点 $A(-2,0)$。 直线 $AM$ 斜率为 $k$，则直线 $AN$ 斜率为 $-\frac{1}{k}$。 联立 $y=k(x+2)$ 与椭圆方程得：$(3+4k^2)x^2+16k^{2}x+16k^2-12=0$。 由 $x_A=-2$，根据韦达定理得 $x_M=\frac{6-8k^2}{3+4k^2}$。 由弦长公式 $|AM|=\sqrt{1+k^2}|x_M-x_A|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{12}{3+4k^2}$。 同理，将 $k$ 替换为 $-\frac{1}{k}$ 得 $|AN|=\sqrt{1+(-\frac{1}{k}{)}^2}\cdot \frac{12}{3+4(-\frac{1}{k}{)}^2}=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{12k}{3k^2+4}$。 由 $|AM|=|AN|$ 得 $3+4k^2=\frac{3k^2+4}{k}⟹4k^3-3k^2+3k-4=0⟹(k-1)(4k^2+k+4)=0$。 因为 $4k^2+k+4>0$，故 $k=1$。 此时 $|AM|=|AN|=\sqrt{2}\cdot \frac{12}{7}$。 $S_{△AMN}=\frac{1}{2}|AM|\cdot |AN|=\frac{1}{2}\cdot (\frac{12\sqrt{2}}{7}{)}^2=\frac{144}{49}$。

(2)对于一般情况，由(1)同理可得： $|AM|=\frac{6\sqrt{t}(1+k^2)}{3+t{k}^2}$，$|AN|=\frac{6\sqrt{t}(1+k^2)k}{3k^2+t}$。 由 $2|AM|=|AN|$ 得：$2\cdot \frac{1}{3+t{k}^2}=\frac{k}{3k^2+t}$。 整理得 $t=\frac{6k^2-3k}{k^3-2}$。 由于焦点在 $x$ 轴上，故 $t>3$。 即 $\frac{6k^2-3k}{k^3-2}>3⟹\frac{2k^2-k}{k^3-2}>1⟹\frac{k^3-2k^2+k-2}{k^3-2}<0$。 $\frac{(k-2)(k^2+1)}{k^3-2}<0$。 因为 $k^2+1>0$，所以 $\frac{k-2}{k^3-2}<0$。 解得 $\sqrt[3]{2}<k<2$。 所以 $k$ 的取值范围是 $(\sqrt[3]{2},2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算技巧：在处理 $|AM|$ 与 $|AN|$ 的关系时，利用斜率的相互垂直关系（$k$ 与 $-1/k$）进行结构代换，可以极大地减少重复计算。
• 隐含条件：解析几何题中常有“焦点在某轴上”的表述，这直接决定了参数的大小关系（如本题 $t>3$），是求取值范围的关键依据。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(1)问中 $N$ 恰为 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点 $(-\frac{2}{7},-\frac{12}{7})$，面积 $=\frac{1}{2}|AM{|}^2=\frac{144}{49}$——这源于“等腰直角三角形 + 椭圆关于 $x$ 轴对称”的结构，可用于同型题的快速验算。
2. 知识关联：“焦点在 $x$ 轴上”隐含 $t>3$，是第(2)问求 $k$ 取值范围的隐藏约束；$MA\perp NA$ 用斜率互为负倒数代换可避免重复联立，是解析几何减算的常用技巧。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

（1）|𝐸𝐴|+|𝐸𝐵|=4，点𝐸的轨迹方程为𝑥24+𝑦23=1.（2）四边形𝑀𝑃𝑁𝑄面积的取值范围为[12,8√3).

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

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