2017-全国卷III文-11 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆顶点、以顶点为直径的圆与直线相切，以及椭圆离心率的计算。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，且以线段 $A_1{A}_2$ 为直径的圆与直线 $bx-ay+2ab=0$ 相切，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 左、右顶点为 $A_1(-a,0)$、$A_2(a,0)$，以 $A_1{A}_2$ 为直径的圆圆心在原点、半径 $r=a$。
2. 圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径 $a$。
3. 用点到直线距离公式建立 $a,b$ 关系，进而求离心率 $e$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

以 $A_1{A}_2$ 为直径的圆圆心为原点，半径 $r=a$。 直线 $bx-ay+2ab=0$ 与圆相切，圆心到直线距离等于半径： $\frac{|2ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}=a$，即 $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}}=1$。 平方得 $4b^2=a^2+b^2$，即 $a^2=3b^2$。 又 $b^2=a^2-c^2$，故 $a^2=3(a^2-c^2)$，即 $3c^2=2a^2$，$\frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{3}$。 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆顶点、点到直线距离、离心率。
2. 核心方法：距离公式建立 $a,b$ 齐次方程。
3. 避坑指南：距离公式分母是 $\sqrt{a^2+b^2}$，勿漏根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考圆锥曲线几何性质题。
2. 结论推广：求椭圆离心率关键是建立 $a,b,c$ 的齐次方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点