2016-全国卷III文-15 填-直线与圆的位

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系、弦长公式与勾股定理，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(文)） 已知直线 $l:x-\sqrt{3}y+6=0$ 与圆 $x^2+y^2=12$ 交于 $A,B$ 两点，过 $A,B$ 分别作 $l$ 的垂线与 $x$ 轴交于 $C,D$ 两点，则 $|CD|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出圆的圆心和半径，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离 $d$。
2. 利用勾股定理求出圆的弦长 $|AB|$。
3. 结合垂直关系与几何图形的相似或投影性质，求出 $|CD|$ 的长度。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

圆的方程为 $x^2+y^2=12$，圆心为原点 $O(0,0)$，半径 $R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。 直线 $l$ 的方程为 $x-\sqrt{3}y+6=0$。 圆心 $O(0,0)$ 到直线 $l$ 的距离为： $d=\frac{|0-\sqrt{3}(0)+6|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt{3}{)}^2}}=\frac{6}{\sqrt{1+3}}=\frac{6}{2}=3$。 在 Rt$△OAE$（$E$ 为弦 $AB$ 中点）中，半弦长为： $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-3^2}=\sqrt{12-9}=\sqrt{3}$， 故弦长 $|AB|=2\sqrt{3}$。 过 $A,B$ 分别作直线 $l$ 的垂线交 $x$ 轴于 $C,D$ 两点，根据几何投影与平行线分线段成比例性质，线段 $|CD$ 等于弦 $AB$ 在 $x$ 轴上的投影或通过直角梯形几何关系计算。 直线 $l$ 的倾斜角满足 $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}⟹\alpha =30^{\circ }$。 弦 $AB$ 与 $x$ 轴的夹角相关，结合几何关系可得 $|CD|=\frac{|AB|}{\sin 30^{\circ }}$ 或通过坐标直接计算： 求出 $A,B$ 坐标后可得 $|CD|=4$。 故答案为 $4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线距离、弦长公式、几何投影。
2. 核心方法：数形结合与垂径定理。
3. 避坑指南：准确计算点到直线距离，并借助图形的几何对称性求解投影长度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何中直线与圆的综合应用题。
2. 结论推广：利用直角三角形三边关系可以简便解决直线与圆的各类几何量计算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆
• 2014-大纲卷理-19 解-直线与平面垂直的性质与判定
• 2014-天津卷理-17 解-空间中直线与直线垂直判定

专题合集 (Series)