2016-全国卷III理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数恒等变换、同角三角函数的基本关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 若 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$，则 ${\cos }^2\alpha +2\sin 2\alpha =$ ()

A. $\frac{64}{25}$　　　　　　B. $\frac{48}{25}$　　　　　　C. $1$　　　　　　D. $\frac{16}{25}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开二倍角：利用 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$，将原式转化为含 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的二次齐次式。
2. 构造分母：利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，给原式添加分母，使其变成分式形式。
3. 弦化切：分子分母同时除以 ${\cos }^2\alpha$，将式子全部转化为关于 $\tan \alpha$ 的表达式。
4. 代入求值：将 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$ 代入计算结果。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 转化原式： ${\cos }^2\alpha +2\sin 2\alpha ={\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha$。
2. 构造齐次分式： ${\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha =\frac{{\cos }^2\alpha +4\sin \alpha \cos \alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$。
3. 分子分母同时除以 ${\cos }^2\alpha$： 原式 $=\frac{1+4\tan \alpha }{{\tan }^2\alpha +1}$。
4. 代入 $\tan \alpha =\frac{3}{4}$： 原式 $=\frac{1+4\times \frac{3}{4}}{(\frac{3}{4}{)}^2+1}=\frac{1+3}{\frac{9}{16}+1}=\frac{4}{\frac{25}{16}}=4\times \frac{16}{25}=\frac{64}{25}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：“弦化切”是三角函数求值中的高频技巧，适用于已知 $\tan \alpha$，求关于 $\sin \alpha ,\cos \alpha$ 的二次齐次式（如 ${\sin }^2\alpha ,{\cos }^2\alpha ,\sin \alpha \cos \alpha$）。
• 常用公式补充：
• $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$
• $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }$
• 易错提醒：在构造分母时，务必保证分子分母的次数齐次（均为二次），否则除以 ${\cos }^2\alpha$ 后无法完全转化为 $\tan \alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若本题要求 $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ 的值，由于分子分母都是一次项（一次齐次式），直接分子分母除以 $\cos \alpha$ 即可，结果为 $\frac{\tan \alpha +1}{\tan \alpha -1}=\frac{\frac{3}{4}+1}{\frac{3}{4}-1}=-7$。
• 知识关联：这种“弦化切”思想本质上是利用了三角函数的定义，在单位圆中，它建立了斜率与点坐标之间的直接联系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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