2016-全国卷III理-11 单-几何证明

本题导读

本题考查椭圆的简单几何性质（离心率）、直线方程与位置关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 已知 $O$ 为坐标原点，$F$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左焦点，$A,B$ 分别为 $C$ 的左、右顶点，$P$ 为 $C$ 上一点，且 $PF\perp x$ 轴.过点 $A$ 的直线 $l$ 与线段 $PF$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $E$.若直线 $BM$ 经过 $OE$ 的中点，则 $C$ 的离心率为 ()

A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{2}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 坐标化：由椭圆性质，得 $A(-a,0),B(a,0),F(-c,0)$。
2. 确定 $M,E$ 点：直线 $l$ 过 $A$ 点，设其斜率为 $k$，则方程为 $y=k(x+a)$。

• 点 $M$ 在直线 $l$ 上且其横坐标为 $-c$，代入求得 $M(-c,k(a-c))$。
• 点 $E$ 为直线 $l$ 与 $y$ 轴交点，令 $x=0$ 得 $E(0,ka)$。

3. 引入中点 $H$：设 $OE$ 中点为 $H$，则 $H(0,\frac{ka}{2})$。
4. 利用共线条件：根据“直线 $BM$ 经过点 $H$”，即 $B,M,H$ 三点共线，通过斜率相等 $k_{BH}=k_{BM}$ 建立关于 $a,c$ 的方程。
5. 求解离心率：整理方程求出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 设点坐标： 依题意可得 $F(-c,0),A(-a,0),B(a,0)$。 设直线 $AE$ 的方程为 $y=k(x+a)(k\ne 0)$。
2. 求 $M,E,H$ 坐标：

• 令 $x=-c$，得 $M$ 点纵坐标 $y_M=k(a-c)$，即 $M(-c,k(a-c))$。
• 令 $x=0$，得 $E$ 点纵坐标 $y_E=ka$，即 $E(0,ka)$。
• 设 $OE$ 的中点为 $H$，则 $H(0,\frac{ka}{2})$。

3. 利用三点共线建立方程： 因为直线 $BM$ 经过点 $H$，所以 $B,H,M$ 三点共线，则有 $k_{BH}=k_{BM}$。 $\frac{\frac{ka}{2}-0}{0-a}=\frac{k(a-c)-0}{-c-a}$ 化简得：$\frac{\frac{a}{2}}{-a}=\frac{a-c}{-c-a}$ 即 $-\frac{1}{2}=\frac{a-c}{-(a+c)}$ $\frac{1}{2}=\frac{a-c}{a+c}$
4. 求解离心率 $e$： $a+c=2a-2c⟹3c=a$ 所以 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 解析几何核心思想：将几何条件（如中点、共线、垂直）通过坐标转化为代数方程。
• 计算技巧：在处理含有斜率 $k$ 的方程时，若 $k$ 不为 0，通常可以在比例式中直接约去，从而简化运算。
• 几何法视角：本题也可以利用 $△AMF\sim △AEO$ 以及 $△BOH\sim △BFM$ 的相似比来快速求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为直线 $BM$ 经过点 $E$（而非 $OE$ 中点），离心率是多少？ 答：此时 $\frac{ka}{-a}=\frac{k(a-c)}{-(a+c)}⟹1=\frac{a-c}{a+c}⟹c=0$，即为圆（不符合 $a>b>0$ 的前提）。
• 知识关联：离心率 $e$ 描述了椭圆的扁平程度。当 $e$ 越接近 0，椭圆越接近圆；当 $e$ 越接近 1，椭圆越扁。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

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