2016-全国卷III理-14 填-三角函数

本题导读

本题考查辅助角公式、三角函数图象的平移变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 函数 $y=\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的图象可由函数 $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x$ 的图象至少向右平移 $\underline{}$ 个单位长度得到.

🔍【思路分析】

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1. 统一形式：利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\theta )$ 将两个函数化为单一的正弦型函数。
2. 确定相位：

• 设目标函数为 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x$。
• 设原函数为 $g(x)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$。

3. 应用平移规律：向右平移 $\varphi$（$\varphi >0$）个单位，即用 $x-\varphi$ 代替原函数中的 $x$。
4. 求解最小值：联立平移后的表达式与目标表达式，利用周期性求出 $\varphi$ 的最小正数解。

✅【答案】

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$\frac{2\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 化简函数：

• 原函数：$y_1=\sin x+\sqrt{3}\cos x=2(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=2\sin (x+\frac{\pi }{3})$。
• 目标函数：$y_2=\sin x-\sqrt{3}\cos x=2(\frac{1}{2}\sin x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x)=2\sin (x-\frac{\pi }{3})$。

2. 设置平移变量： 设向右平移了 $\varphi$（$\varphi >0$）个单位长度。 根据平移规律，平移后的解析式为：$y=2\sin [(x-\varphi )+\frac{\pi }{3}]=2\sin (x-\varphi +\frac{\pi }{3})$。
3. 建立等式关系： 令 $2\sin (x-\varphi +\frac{\pi }{3})=2\sin (x-\frac{\pi }{3})$。 由此可得：$\frac{\pi }{3}-\varphi =2k\pi -\frac{\pi }{3}$，$k\in \mathbb{Z}$。 整理得：$\varphi =\frac{2\pi }{3}-2k\pi$。
4. 求最小值： 由于要求“至少”平移，即寻找 $\varphi$ 的最小正值。 当 $k=0$ 时，$\varphi =\frac{2\pi }{3}$。

答案为：$\frac{2\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助角公式关键点：注意符号。$\sin x+\sqrt{3}\cos x\to \varphi =\frac{\pi }{3}$；$\sin x-\sqrt{3}\cos x\to \varphi =-\frac{\pi }{3}$。
• 平移口诀：“左加右减”。向右平移 $\varphi$ 单位，必须直接作用于自变量 $x$，即 $x\to (x-\varphi )$。
• 易错提醒：在解 $\sin A=\sin B$ 时，除了 $A=B+2k\pi$，有时还需要考虑补角关系，但本题平移不涉及翻转，直接看相位差即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为“向左平移”，则 $\varphi =\frac{4\pi }{3}$（此时 $k=-1$ 时取得最小正值，或直接计算相位差并取正向）。
• 知识关联：三角函数平移是函数变换的缩影，理解自变量变换对坐标轴的影响是高中数学的核心功底。

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🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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