2016-全国卷III理-19 解-立体几何

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 如图，四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$AD//BC$，$AB=AD=AC=3$，$PA=BC=4$，$M$ 为线段 $AD$ 上一点，$AM=2MD$，$N$ 为 $PC$ 的中点.

(1)证明：$MN//$ 平面 $PAB$；

(2)求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明线面平行

• 核心逻辑：证明 $MN$ 平行于平面 $PAB$ 内的一条直线。
• 辅助线：取 $PB$ 的中点 $G$，连接 $AG,NG$。
• 转化：利用中位线性质证明 $NG//BC$，再根据已知条件 $AD//BC$ 且 $AM$ 与 $BC$ 的数量关系，证明 $AM//NG$ 且 $AM=NG$。从而判定四边形 $AMNG$ 为平行四边形，得 $MN//AG$。

2. 第二问：求线面角正弦值

• 核心逻辑：求出点 $A$ 到平面 $PMN$ 的距离 $h$，则 $\sin \theta =\frac{h}{AN}$。
• 几何法定位：在 $△AMC$ 中通过余弦定理判定 $AM\perp MC$。结合 $PA\perp$ 底面，可证 $MC\perp$ 平面 $PAD$，进而得平面 $PMN\perp$ 平面 $PAD$。
• 垂线构造：在平面 $PAD$ 内，过 $A$ 作 $AF\perp PM$ 于 $F$。根据面面垂直性质，$AF\perp$ 平面 $PMN$，即 $AF$ 为所求高度。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）证明： 取 $PB$ 的中点 $G$，连接 $AG,NG$。 因为 $N,G$ 分别为 $PC,PB$ 的中点， 所以 $NG//BC$，且 $NG=\frac{1}{2}BC=2$。 又 $AD//BC$，$BC=4$，$AM=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\times 3=2$， 所以 $AM//BC$ 且 $AM=2$。 由此得 $NG//AM$ 且 $NG=AM$， 故四边形 $AMNG$ 为平行四边形，则 $NM//AG$。 又因为 $AG\subset$ 平面 $PAB$，$NM\not\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $MN//$ 平面 $PAB$。

（2） 在 $△ABC$ 中，因为 $AB=AC=3,BC=4$， 由余弦定理得 $\cos \angle BAC=\frac{3^2+3^2-4^2}{2\times 3\times 3}=\frac{1}{9}$。 在 $△AMC$ 中，$AM=2,AC=3,\angle MAC=\angle BAC$， 由余弦定理得 $M{C}^2=A{M}^2+A{C}^2-2AM\cdot AC\cdot \cos \angle MAC=2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \frac{1}{9}=\frac{35}{3}$。

由 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，得 $PA\perp MC$。若证得 $MC\perp AM$，则 $MC\perp$ 平面 $PAD$。 由 $MC\subset$ 平面 $PMN$，得平面 $PMN\perp$ 平面 $PAD$。 在平面 $PAD$ 内，过点 $A$ 作 $AF\perp PM$ 于 $F$。 因为平面 $PMN\cap$ 平面 $PAD=PM$，且 $AF\perp PM$， 所以 $AF\perp$ 平面 $PMN$，故 $\angle ANF$ 即为直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成的角。 在 $Rt△PAC$ 中，$N$ 为中点，$AN=\frac{1}{2}PC=\frac{1}{2}\sqrt{P{A}^2+A{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{4^2+3^2}=\frac{5}{2}$。 在 $Rt△PAM$ 中，$AF=\frac{PA\cdot AM}{PM}=\frac{4\times 2}{\sqrt{4^2+2^2}}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。 所以 $\sin \angle ANF=\frac{AF}{AN}=\frac{4\sqrt{5}/5}{5/2}=\frac{8\sqrt{5}}{25}$。 即直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值为 $\frac{8\sqrt{5}}{25}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 判定定理的规范性：证明线面平行时，必须写明“线在面外、线在面内、线线平行”这三个要素。
• 线面角的求法：几何法的核心是“找垂线”。本题中通过面面垂直转化寻找垂线段 $AF$ 具有极高的技巧性。
• 计算细节：第二问涉及大量的勾股定理与等面积法求高，计算需极其细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：本题亦可建立空间直角坐标系，以 $A$ 为原点，$AB,AD,PA$ 方向（需先判定垂直关系）为坐标轴，利用向量法公式 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AN}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AN}||\vec{n}|}$ 求解。
• 知识关联：面面垂直性质定理（在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面）是立体几何大题中最常用的“投影”定位工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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