2016-全国卷III理-23 解-参数方程

本题导读

本题考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷III(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_1$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数）.以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$.

(1)写出 $C_1$ 的普通方程和 $C_2$ 的直角坐标方程；

(2)设点 $P$ 在 $C_1$ 上，点 $Q$ 在 $C_2$ 上，求 $|PQ|$ 的最小值及此时 $P$ 的直角坐标.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：方程互化

• $C_1$ 转化：利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，通过消参法将参数方程化为椭圆的标准方程。
• $C_2$ 转化：利用和角公式展开 $\sin (\theta +\frac{\pi }{4})$，再代入 $\rho \cos \theta =x$ 和 $\rho \sin \theta =y$。

2. 第二问：求距离最小值

• 模型转化：由于 $C_2$ 是直线，且由方程可知直线与椭圆 $C_1$ 不相交，故 $|PQ|$ 的最小值即为椭圆 $C_1$ 上的动点 $P$ 到直线 $C_2$ 的距离 $d$ 的最小值。
• 参数表示：设 $P(\sqrt{3}\cos \alpha ,\sin \alpha )$，利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
• 辅助角公式：将分子化为单一的三角函数形式 $A\sin (\alpha +\varphi )+B$，从而根据三角函数的取值范围求得最小值。

✅【答案】

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（1）𝐶1是以(0,1)为圆心、𝑎为半径的圆，极坐标方程为𝜌2−2𝜌sin𝜃+1−𝑎2=0.（2）𝑎=1.

✍【详细解析】

Abstract

解： （1） 对于曲线 $C_1$：由 $\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{x}{\sqrt{3}}\\ \sin \alpha =y\end{array}$，根据 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$， 得普通方程为 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$。 对于曲线 $C_2$：由 $\rho \sin (\theta +\frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$， 展开得 $\rho (\sin \theta \cos \frac{\pi }{4}+\cos \theta \sin \frac{\pi }{4})=2\sqrt{2}$， 即 $\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \sin \theta +\frac{\sqrt{2}}{2}\rho \cos \theta =2\sqrt{2}$， 简化得 $\rho \sin \theta +\rho \cos \theta =4$。 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，得直角坐标方程为 $x+y-4=0$。

（2） 因为椭圆 $C_1$ 上的点到直线 $x+y-4=0$ 的距离即为 $|PQ|$ 的值。 设 $P(\sqrt{3}\cos \alpha ,\sin \alpha )$，则 $P$ 到直线 $C_2$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|\sqrt{3}\cos \alpha +\sin \alpha -4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|2\sin (\alpha +\frac{\pi }{3})-4|}{\sqrt{2}}$。 由于 $-1\le \sin (\alpha +\frac{\pi }{3})\le 1$， 则当 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{3})=1$ 时，分子取最小值 $|2-4|=2$。 此时 $d_{min}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。 当 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{3})=1$ 时，可取 $\alpha +\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}$，即 $\alpha =\frac{\pi }{6}$。 代入 $P$ 点坐标： $x=\sqrt{3}\cos \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$； $y=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。 所以 $|PQ|$ 的最小值为 $\sqrt{2}$，此时 $P$ 的坐标为 $(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程互化基本功：熟练掌握 ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 消参和 $\rho ,\theta$ 与 $x,y$ 的转换公式。
• 距离最值策略：处理“曲线上的点到直线的距离”问题，参数方程结合三角函数最值是最通用的方法，优于联立方程求判别式。
• 易错提醒：在第二问中，要确保分子绝对值内的常数项与三角函数项的符号，避免找成最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若求 $|PQ|$ 的最大值，则取 $\sin (\alpha +\frac{\pi }{3})=-1$，此时 $d_{max}=\frac{|-2-4|}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$。
• 知识关联：本题体现了数学中的“化归”思想，将几何中的距离问题转化为代数中的函数最值问题。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

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