2016-北京卷文-18 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PC\perp \text{平面 }ABCD$，$AB\parallel DC$，$DC\perp AC$.

(1) 求证：$DC\perp \text{平面 }PAC$；

(2) 求证：$\text{平面 }PAB\perp \text{平面 }PAC$；

(3) 设点 $E$ 为 $AB$ 的中点. 在棱 $PB$ 上是否存在点 $F$，使得 $PA\parallel \text{平面 }CEF$？说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：要证线面垂直 $DC\perp \text{平面 }PAC$，只需在平面 $PAC$ 内找到两条相交直线与 $DC$ 垂直。已知 $DC\perp AC$，还需证明 $DC$ 垂直于过点 $C$ 且在平面 $PAC$ 内的另一条直线（利用 $PC\perp \text{平面 }ABCD$）。
2. 第 (2) 问：要证面面垂直 $\text{平面 }PAB\perp \text{平面 }PAC$，通常转化为在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。结合第 (1) 问的结论 $DC\perp \text{平面 }PAC$，再由 $AB\parallel DC$ 可得 $AB\perp \text{平面 }PAC$。
3. 第 (3) 问：探究是否存在点 $F$ 使得 $PA\parallel \text{平面 }CEF$。可以通过取线段的中点或利用三角形中位线性质，构建平行关系来确定 $F$ 的位置（通常 $F$ 为 $PB$ 的中点）。

✅【答案】

点击查看答案

待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $PC\perp \text{平面 }ABCD$，且 $DC\subset \text{平面 }ABCD$， 所以 $PC\perp DC$。 又因为 $DC\perp AC$，且 $PC\cap AC=C$， $PC,AC\subset \text{平面 }PAC$， 所以 $DC\perp \text{平面 }PAC$。

(2) 证明： 因为 $AB\parallel DC$，且由 (1) 知 $DC\perp \text{平面 }PAC$， 所以 $AB\perp \text{平面 }PAC$。 又因为 $AB\subset \text{平面 }PAB$， 所以 $\text{平面 }PAB\perp \text{平面 }PAC$。

(3) 结论：在棱 $PB$ 上存在点 $F$（即 $PB$ 的中点），使得 $PA\parallel \text{平面 }CEF$。 证明如下： 取 $PB$ 的中点 $F$，连接 $EF$ 和 $CF$。 设 $AC$ 与 $BD$ 的交点为 $O$（或取 $AP$ 的中点等辅助线法）： 在 $△PAB$ 中，因为 $E$ 是 $AB$ 的中点，$F$ 是 $PB$ 的中点， 所以 $EF$ 是 $△PAB$ 的中位线， 故 $EF\parallel PA$。 又因为 $PA\not\subset \text{平面 }CEF$，且 $EF\subset \text{平面 }CEF$， 所以 $PA\parallel \text{平面 }CEF$。 因此，当 $F$ 为棱 $PB$ 的中点时，满足 $PA\parallel \text{平面 }CEF$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直、面面垂直的判定定理及线面平行的判定。
2. 核心方法：转化与化归思想（线线垂直 $\to$ 线面垂直 $\to$ 面面垂直）。
3. 避坑指南：在证明线面垂直时，切记写全“线在面内”及“相交”等前提条件；第 (3) 问探究性问题通常结论是“存在”，一般中点或等分点为常见解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：立体几何解答题的第一、二问常规证明加第三问探索性平行问题的标准模式。
2. 结论推广：三角形中位线定理是解决空间线面平行存在性问题的重要工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-07 填-空间直角坐标系
• 2014-广东卷文-09 单-空间直线位置
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题

专题合集 (Series)