2016-北京卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与性质（离心率）、直线方程的求法（点斜式）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，$A(a,0)$，$B(0,b)$，$O(0,0)$，$△OAB$ 的面积为 $1$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$.求证：$|AN|\cdot |BM|$ 为定值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求方程）：

• 利用离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 建立 $a,c$ 关系。
• 利用 $a^2=b^2+c^2$ 将其转化为 $a,b$ 关系。
• 利用 $△OAB$ 为直角三角形，面积 $S=\frac{1}{2}ab=1$。
• 联立方程组求出 $a,b$。

2. 第二问（定值证明）：

• 设点：设 $P(x_0,y_0)$，满足 $\frac{x_0^2}{4}+y_0^2=1⟹x_0^2+4y_0^2=4$。

• 求直线与截距：

  • 写出直线 $PA$ 方程，令 $x=0$ 求出 $M$ 点纵坐标，计算 $|BM|$。
  • 写出直线 $PB$ 方程，令 $y=0$ 求出 $N$ 点横坐标，计算 $|AN|$。

• 代数化简：计算 $|AN|\cdot |BM|$，利用 $P$ 点在椭圆上这一隐含条件消去变量。

• 另解（参数法）：设 $P(2\cos \theta ,\sin \theta )$ 可以简化部分代数运算。

✅【答案】

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$（1）C:x24+y2=1.（2）|AN|\cdot |BM|=4.$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由已知 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}$。 整理得 $a^2=4b^2$，即 $a=2b$ ($a,b>0$)。 又因为 $S_{△OAB}=\frac{1}{2}ab=1$，所以 $ab=2$。 将 $a=2b$ 代入得 $2b^2=2⟹b=1$。 从而 $a=2$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

(2)证明：由(1)知 $A(2,0),B(0,1)$。 设 $P(x_0,y_0)$ 为椭圆上异于 $A,B$ 的点，则 $x_0^2+4y_0^2=4⟹y_0^2=1-\frac{x_0^2}{4}$。

1. 计算 $|BM|$： 直线 $PA$ 的方程为 $y=\frac{y_0}{x_0-2}(x-2)$。 令 $x=0$，得 $y_M=\frac{-2y_0}{x_0-2}$。 则 $M(0,\frac{-2y_0}{x_0-2})$，因为 $B(0,1)$，所以： $|BM|=|y_M-1|=|\frac{-2y_0-(x_0-2)}{x_0-2}|=|\frac{x_0+2y_0-2}{x_0-2}|$。

2. 计算 $|AN|$： 直线 $PB$ 的方程为 $y-1=\frac{y_0-1}{x_0}(x-0)$。 令 $y=0$，得 $-1=\frac{y_0-1}{x_0}x⟹x_N=\frac{-x_0}{y_0-1}$。 则 $N(\frac{-x_0}{y_0-1},0)$，因为 $A(2,0)$，所以： $|AN|=|x_N-2|=|\frac{-x_0-2(y_0-1)}{y_0-1}|=|\frac{x_0+2y_0-2}{y_0-1}|$。

3. 计算乘积： $|AN|\cdot |BM|=\left|\frac{(x_0+2y_0-2{)}^2}{(x_0-2)(y_0-1)}\right|$。 由于 $x_0^2-4=-4y_0^2=-4(y_0-1)(y_0+1)$， 且 $x_0-2=\frac{-4y_0^2}{x_0+2}$。 通过代数代换化简（或直接使用参数方程法）： $|AN|\cdot |BM|=\frac{x_0^2+4y_0^2+4+4x_0{y}_0-4x_0-8y_0}{x_0{y}_0-x_0-2y_0+2}$ 分子中 $x_0^2+4y_0^2=4$，则分子 = $8+4x_0{y}_0-4x_0-8y_0=4(x_0{y}_0-x_0-2y_0+2)$。 所以 $|AN|\cdot |BM|=\frac{4(x_0{y}_0-x_0-2y_0+2)}{x_0{y}_0-x_0-2y_0+2}=4$。 故 $|AN|\cdot |BM|$ 为定值 $4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 计算耐力：解析几何第二问往往涉及复杂的繁分式化简，考生需具备极强的代数运算能力。
• 参数方程的优势：设 $x_0=2\cos \theta ,y_0=\sin \theta$ 可以避免处理分母上的 $x_0-2$，化简过程会包含大量的三角恒等变换，通常比直接坐标法更具技巧性。
• 北京卷的定值/定点问题，最终结果往往是 $a^2$ 或 $b^2$ 的简单倍数。本题结果 $4$ 恰好是 $a^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $P$ 点是圆 $x^2+y^2=r^2$ 上的动点，相应的线段积是否仍为定值？
2. 知识关联：本题考查了直线的截距、两点间距离以及曲线方程的综合应用，是高考解析几何的经典压轴模式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)