2016-四川卷文-07 单-对数

本题导读

本题考查指数增长模型与对数的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 公司为鼓励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 $12\%$，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是 ()

（参考数据：$\lg 1.12\approx 0.05,\lg 1.3\approx 0.11,\lg 2\approx 0.30$）

A. 2018 年　　　B. 2019 年　　　C. 2020 年　　　D. 2021 年

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 2015 年为第 0 年（基数 130 万元），经过 $n$ 年后研发资金为 $130\times (1+12\%{)}^n=130\times (1.12{)}^n$。
2. 根据题意列出不等式 $130\times (1.12{)}^n>200$。
3. 两边取常用对数，结合参考数据解出满足条件的正整数 $n$，进而推算具体年份。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设从 2015 年开始经过 $n$ 年，研发资金开始超过 200 万元。 由题意得： $130\times (1.12{)}^n>200⟹(1.12{)}^n>\frac{200}{130}=\frac{20}{13}$。 两边取常用对数： $n\lg 1.12>\lg 20-\lg 13=\lg \left(\frac{2}{0.1}\right)-\lg 13$（或直接利用 $\lg 2\approx 0.30,\lg 1.3\approx 0.11$）。 已知 $\lg 1.12\approx 0.05$： $n\times 0.05>\lg 2+\lg 10-\lg 13$？直接用题目已知近似值估算： $\lg \left(\frac{20}{13}\right)=\lg 20-\lg 13=\lg 2+\lg 10-\lg 13=0.30+1-\lg 13$。 由于 $\lg 1.3\approx 0.11⟹\lg 13=\lg (1.3\times 10)=1.11$， 故 $\lg \left(\frac{20}{13}\right)=0.30+1-1.11=0.19$。 代入不等式： $0.05n>0.19⟹n>\frac{0.19}{0.05}=3.8$。 因为 $n$ 必须为正整数，故最小的整数 $n=4$。 2015 年加 4 年为 $2015+4=2019$ 年。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 指数模型、对数不等式求解。
2. 核心方法: 对数化简与估算取整法。
3. 避坑指南：计算年份时注意起始年份为 2015 年，经过 $n$ 年后为 $2015+n$，切勿把 $n$ 的值直接当成年份。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考应用题中的经典指数增长与对数计算模型。
2. 结论推广: 涉及“增长率”的复利模型通常遵循 $A=A_0(1+p{)}^n$ 的规律。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-全国卷I理-11 单-对数运算

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