2017-全国卷I理-11 单-对数运算

本题导读

本题考查指数与对数的互化，以及对数运算法则。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 设 $x,y,z$ 为正数，且 $2^x=3^y=5^z$，则 ()

A. $2x<3y<5z$　　　　　　　　　　　　　　　B. $5z<2x<3y$

C. $3y<5z<2x$　　　　　　　　　　　　　　　D. $3y<2x<5z$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 引入辅助常数：设 $2^x=3^y=5^z=k$。因为 $x,y,z$ 为正数，所以 $k>1$。
2. 对数化处理：根据对数定义，将 $x,y,z$ 分别表示为以 $k$ 为底的对数：$x={\log }_{2}k,y={\log }_{3}k,z={\log }_{5}k$。
3. 目标变形：题目要求比较 $2x,3y,5z$ 的大小。将它们写成：

• $2x=2{\log }_{2}k={\log }_2{k}^2$
• $3y=3{\log }_{3}k={\log }_3{k}^3$
• $5z=5{\log }_{5}k={\log }_5{k}^5$

4. 作商比较：利用换底公式将不同底的对数转化为同底（常用对数 $\lg$），通过计算 $\frac{2x}{3y}$ 和 $\frac{2x}{5z}$ 的值与 1 的关系来判断。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 设 $2^x=3^y=5^z=k$ ($k>1$)。 则 $x=\frac{\lg k}{\lg 2}$，$y=\frac{\lg k}{\lg 3}$，$z=\frac{\lg k}{\lg 5}$。

第一步：比较 $2x$ 与 $3y$ $\frac{2x}{3y}=\frac{2\cdot \frac{\lg k}{\lg 2}}{3\cdot \frac{\lg k}{\lg 3}}=\frac{2\lg 3}{3\lg 2}=\frac{\lg 3^2}{\lg 2^3}=\frac{\lg 9}{\lg 8}$ 因为 $\lg 9>\lg 8>0$，所以 $\frac{2x}{3y}>1$，即 $2x>3y$。

第二步：比较 $2x$ 与 $5z$ $\frac{2x}{5z}=\frac{2\cdot \frac{\lg k}{\lg 2}}{5\cdot \frac{\lg k}{\lg 5}}=\frac{2\lg 5}{5\lg 2}=\frac{\lg 5^2}{\lg 2^5}=\frac{\lg 25}{\lg 32}$ 因为 $0<\lg 25<\lg 32$，所以 $\frac{2x}{5z}<1$，即 $2x<5z$。

第三步：得出结论 综合上述结果：$3y<2x<5z$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 换底公式的威力：处理底数不同的幂或对数比较时，换为常用对数 $\lg$ 或自然对数 $\ln$ 是标准操作。
• 转化倍数：将系数移入对数内部（如 $2\lg 3=\lg 3^2$）可以避开模糊的数值估算，直接比较真数的大小。
• 易错提醒：注意 $k>1$ 这个前提。如果 $x,y,z$ 为负数，$k$ 会在 $(0,1)$ 之间，此时 $\lg k<0$，作商后的不等号方向会发生改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 估算法应用： 若已知 $\lg 2\approx 0.301,\lg 3\approx 0.477,\lg 5\approx 0.699$：

• $2x\propto \frac{2}{0.301}\approx 6.64$
• $3y\propto \frac{3}{0.477}\approx 6.28$
• $5z\propto \frac{5}{0.699}\approx 7.15$ 显然 $6.28<6.64<7.15$，结论一致。

2. 变式思考： 如果题目给出的形式是 $x{e}^x=y{e}^{2y}=z{e}^{3z}$，这种涉及 $x{e}^x$ 结构的题目通常需要构造辅助函数 $f(t)=t{e}^{nt}$ 并利用单调性结合导数处理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 1977-宁夏-06 解-对数运算
• 1977-浙江-02 解-对数运算
• 2013-四川卷文-11 填-对数运算