2016-四川卷文-17 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp CD$，$AD\parallel BC$，$\angle ADC=\angle PAB=90^{\circ }$，$BC=CD=\frac{1}{2}AD$.

(1) 在平面 $PAD$ 内找一点 $M$，使得直线 $CM\parallel \text{平面 }PAB$，并说明理由；

(2) 证明：平面 $PAB\perp \text{平面 }PBD$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：建立空间直角坐标系，利用向量共面或平行的坐标条件，确定点 $M$ 的位置（即 $AD$ 的中点），并证明 $CM\parallel \text{plane }PAB$.
2. 第 (2) 问：求出平面 $PAB$ 与平面 $PBD$ 的法向量，证明它们的法向量互相垂直，从而得出面面垂直。

✅【答案】

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第（1）问取𝑀为𝑃𝐷的中点；第（2）问平面𝑃𝐴𝐵⟂平面𝑃𝐵𝐷.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 点 $M$ 为线段 $AD$ 的中点。 理由如下： 以 $D$ 为坐标原点，$CD$ 所在的直线为 $y$ 轴，$DA$ 所在的直线为 $x$ 轴。设 $CD=a$，则 $AD=2a$. 可得 $D(0,0,0)$，$C(0,a,0)$，$A(2a,0,0)$. 因为 $AD\parallel BC$ 且 $BC=a$，故 $B(a,a,0)$. 因为 $PA\perp CD$，且在平面 $PAD$ 中 $\angle PAB=90^{\circ }$，可设 $P(2a,0,h)$. 取 $AD$ 的中点 $M(a,0,0)$，则 $\overrightarrow{CM}=(a,-a,0)$. 平面 $PAB$ 的法向量 $\vec{n}=(1,1,0)$ 满足 $\overrightarrow{CM}\cdot \vec{n}=a(1)+(-a)(1)+0(0)=0$. 且点 $M$ 在平面 $PAD$ 内，直线 $CM\not\subset \text{平面 }PAB$，故 $CM\parallel \text{plane }PAB$.

(2) 证明： 由 (1) 可知平面 $PAB$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(1,1,0)$. 平面 $PBD$ 经过点 $P(2a,0,h)$，$B(a,a,0)$，$D(0,0,0)$. 求得平面 $PBD$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(h,-h,-2a)$. 计算两法向量的数量积： ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=1(h)+1(-h)+0(-2a)=0$. 因此 ${\vec{n}}_1\perp {\vec{n}}_2$，即平面 $PAB\perp \text{平面 }PBD$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面平行判定、面面垂直判定、空间向量法。
2. 核心方法：坐标建系法与法向量点积运算。
3. 避坑指南：证明线面平行时，注意说明直线不在平面内；证明面面垂直时，准确求出两平面的法向量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题的经典题型。
2. 结论推广：利用空间向量求解线面、面面位置关系具有普适性和高效性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

第（1）问取𝑀为𝑃𝐷的中点；第（2）问平面𝑃𝐴𝐵⟂平面𝑃𝐵𝐷.

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-07 填-空间直角坐标系
• 2014-广东卷文-09 单-空间直线位置
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题

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