2016-四川卷理-03 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数图象的平移变换、函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 为了得到函数 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 的图象，只需把函数 $y=\sin 2x$ 的图象上所有的点 ()

A. 向左平行移动 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度　　B. 向右平行移动 $\frac{\pi }{3}$ 个单位长度

C. 向左平行移动 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度　　D. 向右平行移动 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定变换对象：平移变换是针对自变量 $x$ 的。
2. 公式变形：将目标函数 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 中的 $x$ 系数提取出来，写成 $y=\sin [2(x-\varphi )]$ 的形式。
3. 应用准则：根据“左加右减”原则判断平移方向和距离。

• 若 $x\to x-h$ ($h>0$)，则向右平移 $h$ 个单位。
• 若 $x\to x+h$ ($h>0$)，则向左平移 $h$ 个单位。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 提取系数： 目标函数 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 可以变形为： $y=\sin [2(x-\frac{\pi }{6})]$
2. 比较变换： 原函数为 $y=\sin 2x$。 将原函数中的 $x$ 替换为 $(x-\frac{\pi }{6})$，即可得到目标函数 $y=\sin [2(x-\frac{\pi }{6})]=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$。
3. 判断方向与距离： 由于是 $x-\frac{\pi }{6}$，根据“右减”原则，表示向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心陷阱：直接看 $\phi =-\frac{\pi }{3}$ 而选 B 是最常见的错误。一定要记住：平移只针对 $x$。
• 变换顺序：

  • 先平移后伸缩：$\sin x\stackrel{\text{左移 }\phi }{\to }\sin (x+\phi )\stackrel{\text{周期变为 }1/\omega }{\to }\sin (\omega x+\phi )$。

  • 先伸缩后平移：$\sin x\stackrel{\text{周期变为 }1/\omega }{\to }\sin \omega x\stackrel{\text{左移 }\phi /\omega }{\to }\sin [\omega (x+\frac{\phi }{\omega })]=\sin (\omega x+\phi )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要由 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 得到 $y=\sin 2x$，则需向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位（注意变换的始末方向）。
• 关联考点：此类题目常与诱导公式结合。例如，若要把 $y=\cos 2x$ 变为 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$，需先利用 $\cos 2x=\sin (2x+\frac{\pi }{2})$ 统一函数名，再计算平移量。
• 易错警示：在考场上如果不确定，可以带入特殊点验证。例如原函数 $y=\sin 2x$ 在 $x=0$ 处值为 $0$；目标函数 $y=\sin (2x-\frac{\pi }{3})$ 在 $x=\frac{\pi }{6}$ 处值为 $\sin (0)=0$。点 $(0,0)$ 变到了 $(\frac{\pi }{6},0)$，是向右移动了 $\frac{\pi }{6}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

专题合集 (Series)