2016-四川卷理-11 填-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（二倍角公式）、特殊角的三角函数值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） ${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8}=\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 观察结构：题目给出的表达式符合 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ 的形式。
2. 匹配公式：联想三角函数二倍角公式：$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$
3. 代入计算：令 $\alpha =\frac{\pi }{8}$，则 $2\alpha =\frac{\pi }{4}$。
4. 得出结果：计算 $\cos \frac{\pi }{4}$ 的值。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 公式转化： 根据余弦二倍角公式 ${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$，可得： ${\cos }^2\frac{\pi }{8}-{\sin }^2\frac{\pi }{8}=\cos \left(2\times \frac{\pi }{8}\right)$
2. 化简角度： $\cos \left(2\times \frac{\pi }{8}\right)=\cos \frac{\pi }{4}$
3. 求值： 根据特殊角三角函数值表知： $\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

故答案为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基础先行：正如解析中所述，本题源于课本基础公式，强调了回归教材的重要性。
• 公式变体：熟练掌握 $\cos 2\alpha$ 的三个形式能应对更多变式：

  • $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

  • $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$

  • $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为 $2{\cos }^2\frac{\pi }{12}-1$ 或 $1-2{\sin }^2\frac{\pi }{12}$，其结果分别为 $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 关联考点：本题可与正弦二倍角公式 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ 结合考查。例如求 $\sin \frac{\pi }{8}\cos \frac{\pi }{8}$ 的值。
• 易错警示：注意不要将公式记混为 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha$（结果为 1）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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