2016-四川卷理-18 解-线面位置

本题导读

本题考查线面平行的判定与性质、平面几何性质（平行四边形、梯形）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$AD//BC$，$\angle ADC=\angle PAB=90^{\circ }$，$BC=CD=\frac{1}{2}AD$，$E$ 为边 $AD$ 的中点，异面直线 $PA$ 与 $CD$ 所成的角为 $90^{\circ }$.

(1)在平面 $PAB$ 内找一点 $M$，使得直线 $CM//$ 平面 $PBE$，并说明理由；

(2)若二面角 $P-CD-A$ 的大小为 $45^{\circ }$，求直线 $PA$ 与平面 $PCE$ 所成的角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（平行点探索）：

• 核心逻辑：要使 $CM//$ 平面 $PBE$，只需在平面 $PBE$ 内找一条直线与 $CM$ 平行。
• 几何分析：已知 $BC//ED$ 且 $BC=ED$（$E$ 是 $AD$ 中点），故四边形 $BCDE$ 是平行四边形，则 $CD//BE$。
• 延长构造：若 $M$ 是 $CD$ 与 $AB$ 延长线的交点，则 $CM$ 即为直线 $CD$。由于 $CD//BE$ 且 $BE\subset$ 平面 $PBE$，可得 $CM//$ 平面 $PBE$。

2. 第二问（角度计算）：

• 垂直判定：由 $CD\perp AD$ 且 $CD\perp PA$（异面垂直），可证 $CD\perp$ 平面 $PAD$，从而 $CD\perp PD$。
• 建系基础：$\angle PDA$ 是二面角 $P-CD-A$ 的平面角，即 $\angle PDA=45^{\circ }$。在 $Rt△PAD$ 中可设边长建立坐标系。
• 向量计算：求出平面 $PCE$ 的法向量 $\vec{n}$，利用 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{PA}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{PA}|\cdot |\vec{n}|}$ 计算。

✅【答案】

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（1）取𝑀=𝐴𝐵∩𝐶𝐷.（2）直线𝑃𝐴与平面𝑃𝐶𝐸所成角的正弦值为13.

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)在平面 $PAB$ 内，延长 $AB$ 与 $DC$ 的延长线交于点 $M$，则点 $M$ 即为所求。 理由如下： 因为 $AD//BC$，$E$ 为 $AD$ 中点，$BC=\frac{1}{2}AD$，所以 $BC=ED$。 又因为 $BC//ED$，所以四边形 $BCDE$ 是平行四边形，故 $CD//BE$。 因为 $CD//BE$，$BE\subset$ 平面 $PBE$，$CD\not\subset$ 平面 $PBE$， 所以 $CD//$ 平面 $PBE$。 由于 $M$ 在直线 $CD$ 的延长线上，故直线 $CM$ 即直线 $CD$， 所以 $CM//$ 平面 $PBE$。

(2)

1. 证明垂直关系： 由已知 $CD\perp AD$，且异面直线 $PA$ 与 $CD$ 成 $90^{\circ }$，即 $CD\perp PA$。 因为 $AD\cap PA=A$，所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$。 又 $PD\subset$ 平面 $PAD$，所以 $CD\perp PD$。 故 $\angle PDA$ 为二面角 $P-CD-A$ 的平面角，即 $\angle PDA=45^{\circ }$。

2. 确定边长与坐标： 由 $PA\perp AB$，$CD\perp PA$，且 $AB$ 与 $CD$ 不平行，可得 $PA\perp$ 平面 $ABCD$。 设 $CD=1$，则 $BC=1,AD=2$。在 $Rt△PAD$ 中，$\angle PDA=45^{\circ }$，$AD=2$，故 $PA=2$。 以 $A$ 为原点，$AE$ 方向为 $x$ 轴，$AB$ 垂线方向为 $y$ 轴，$AP$ 方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。 $A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0)$。

1. 计算法向量与夹角： $\overrightarrow{EC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{EP}=(-1,0,2)$。 设平面 $PCE$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{EC}=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{EP}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y=0\\ -x+2z=0\end{array}$，取 $x=2$，得 $\vec{n}=(2,-2,1)$。 $\overrightarrow{AP}=(0,0,2)$。 设直线 $PA$ 与平面 $PCE$ 所成角为 $\alpha$，则： $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AP}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{|0+0+2|}{2\times \sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{2}{2\times 3}=\frac{1}{3}$。

故直线 $PA$ 与平面 $PCE$ 所成角的正弦值为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 关键结论：四棱锥中出现 $BC=\frac{1}{2}AD$ 且平行时，中点 $E$ 往往是构造平行四边形的关键。
• 建系技巧：选择相互垂直的三条线作为坐标轴。若没有现成的三垂直，需利用线面垂直判定定理自行证明或构造。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法对比：第二问若使用几何法，需过 $A$ 作平面 $PCE$ 的垂线，计算垂线段长度。对于四川卷这类综合性较强的大题，坐标法计算虽繁但逻辑稳健。
• 易错警示：异面直线垂直是隐藏的线面垂直条件，必须写出“两条相交直线”的判定过程。
• 变式思考：若要求点 $B$ 到平面 $PCE$ 的距离，可在求得法向量后直接使用距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{EB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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