2016-天津卷文-07 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算与数量积、等三角形的几何性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知 $△ABC$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D,E$ 分别是边 $AB,BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长到点 $F$，使得 $DE=2EF$，则 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的值为 ()

A. $-\frac{8}{5}$　　　　　　B. $\frac{1}{8}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{11}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用图形的几何关系，用基底向量（例如 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 或 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$）表示出向量 $\overrightarrow{AF}$。
2. 结合 $DE=2EF$ 确定点 $F$ 的位置，计算出 $\overrightarrow{AF}$ 的具体表达式。
3. 代入数量积公式计算 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

在边长为 1 的等边三角形 $△ABC$ 中，点 $D,E$ 分别是 $AB,BC$ 的中点： $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$（或由中位线性质得到 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）。 因为 $DE=2EF$，且 $F$ 在 $DE$ 的延长线上， 所以 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。 从而 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$。 将其转化为以 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}$ 为基底： 因为 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$， 所以 $\overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$。 计算数量积 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$： $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}=\left(\frac{5}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{5}{4}(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC})+\frac{3}{4}(\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC})$。 在边长为 1 的等边三角形中，向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $120^{\circ }$， 故 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=1\times 1\times \cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BC}=1^2=1$。 代入计算得： $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{5}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{3}{4}(1)=-\frac{5}{8}+\frac{6}{8}=\frac{1}{8}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量线性运算、向量数量积的几何意义。
2. 核心方法：基底法与向量加减法则。
3. 避坑指南：计算两向量夹角时，注意向量方向必须是“共起点”或“首尾相接”的夹角（如 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 $120^{\circ }$，切勿误认为 $60^{\circ }$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考平面向量综合选择题。
2. 结论推广：三角形中位线及延长线上的向量线性表示是高考向量题的经典模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直

专题合集 (Series)