2016-天津卷文-12 填-圆的标准方程

本题导读

本题考查圆的标准方程、点到直线的距离公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知圆 $C$ 的圆心在 $x$ 轴的正半轴上，点 $M(0,\sqrt{5})$ 在圆 $C$ 上，且圆心到直线 $2x-y=0$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$，则圆 $C$ 的方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设圆心坐标为 $(a,0)(a>0)$，根据点 $M$ 在圆上表示出半径的平方 $R^2$。
2. 利用圆心到已知直线的距离公式建立关于 $a$ 的方程求解 $a$。
3. 确定圆心与半径，写出圆的标准方程。

✅【答案】

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$(x-2{)}^2+y^2=9$

✍【详细解析】

Abstract

设圆心坐标为 $(a,0)$，因为圆心在 $x$ 轴的正半轴上，故 $a>0$。 由点 $M(0,\sqrt{5})$ 在圆 $C$ 上，得圆的半径平方为： $R^2=(0-a{)}^2+(\sqrt{5}-0{)}^2=a^2+5$。 又圆心 $(a,0)$ 到直线 $2x-y=0$ 的距离为： $d=\frac{|2a-0|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$。 解得 $2a=4⟹a=2$（满足 $a>0$）。 此时半径平方 $R^2=2^2+5=9$。 故圆 $C$ 的方程为 $(x-2{)}^2+y^2=9$。 故答案为：$(x-2{)}^2+y^2=9$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的方程、点到直线距离公式。
2. 核心方法：待定系数法。
3. 避坑指南：利用距离公式时注意分子加绝对值，并检验圆心坐标满足正半轴的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何中圆的基础题。
2. 结论推广：点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 是解析几何的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$(x-2)2+y2=9$

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程
• 2014-广东卷理-20 解-椭圆的标准方程
• 2014-江苏卷-17 解-椭圆的标准方程

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