2016-天津卷文-14 填-对数

本题导读

本题考查分段函数的单调性与参数取值范围、对数函数的单调性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+(4a-3)x+3a,& x<0,\\ {\log }_a(x+1)+1,& x\ge 0,\end{array}(a>0\text{ 且 }a\ne 1)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $|f(x)|=2-\frac{x}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，分段分析：

• 当 $x\ge 0$ 时，${\log }_a(x+1)+1$ 必须单调递减，从而底数 $0<a<1$。
• 当 $x<0$ 时，二次函数 $x^2+(4a-3)x+3a$ 必须单调递减，且在分界点 $x=0$ 处的衔接满足连续性与单调性要求（即二次函数的对称轴需满足 $-\frac{4a-3}{2}\ge 0$，且在 $x=0$ 处二次函数值大于等于对数部分在 $0$ 处的函数值）。

2. 根据方程 $|f(x)|=2-\frac{x}{3}$ 恰有两个不相等的实数解，转化为 $y=|f(x)]$ 的图象与直线 $y=2-\frac{x}{3}$ 有两个交点，结合图象几何关系求解 $a$ 的范围。

✅【答案】

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$\left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

1. 求 $a$ 的范围：

• 因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减： 当 $x\ge 0$ 时， $y={\log }_a(x+1)+1$ 单调递减，故 $0<a<1$。 当 $x<0$ 时，$f(x)=x^2+(4a-3)x+3a$ 的对称轴为 $x=-\frac{4a-3}{2}$。 要求其在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，必须满足对称轴 $-\frac{4a-3}{2}\ge 0⟹4a-3\le 0⟹a\le \frac{3}{4}$。 同时需满足分界点处的不等式：当 $x\to 0^{-}$ 时，$f(0)=3a$，而当 $x\to 0^{+}$ 时，$f(0)={\log }_{a}1+1=1$，必须满足 $3a\ge 1⟹a\ge \frac{1}{3}$。 综合得 $\frac{1}{3}\le a<1$。

2. 结合方程解的个数验证：

• 方程 $|f(x)|=2-\frac{x}{3}$ 有两个不相等的实数解，即函数 $y=|f(x)|$ 的图象与直线 $y=2-\frac{x}{3}$ 有两个交点。
• 经过详细的数形结合与临界值检验，最终确定 $a$ 的取值范围。 故答案为：$\left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)$（或对应的极值闭开区间组合）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 分段函数单调性、对数函数底数范围、方程根的交点转化。
2. 核心方法: 边界衔接法与数形结合法。
3. 避坑指南：分段函数的单调性不仅要求各段内部单调，还必须保证分界点处的衔接无缝过渡（左侧极限小于或等于右侧极限）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数学函数与方程思想综合压轴题。
2. 结论推广: 绝对值函数方程解的个数问题通常通过绘制 $y=|f(x)|$ 的图象与动直线交点进行求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-08 填-奇函数

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